Математическая вертикаль: Повторение за 7-8 классы. 1) Вычисления. Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 1.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Этот материал составлен для повторения программы 7 и 8 классов и полноценного освоения курса 9 класса. Кроме того, можно использовать задачник [1].
ПОВТОРЕНИЕ: 1. Вычисления
По этой теме можно использовать главу I из задачника [1] (стр. 5–18).
Замечание 1. Вычисления — отличная тренировка. Иногда нужно просто аккуратно выполнить все действия, нигде не ошибившись. Этот навык очень важен и незаменим. Но иногда можно применить какой-то трюк, упрощающий вычисления. Обратим внимание на один из них — вынесение общего множителя за скобки. Почти все умеют применять этот трюк при приведении дробей к общему знаменателю, но он уместен и в других ситуациях.
Пример 1. Вычислите: $\frac{72}{325} — \frac{9}{275}$.
Решение. Числитель обеих дробей делится на 9, а знаменатель — на 25. Вынесем общий множитель за скобку:
$\frac{72}{325} — \frac{9}{275} = \frac{9}{25} \left(\frac{8}{13} — \frac{1}{11} \right) =$
теперь гораздо проще привести дроби к общему знаменателю:
$= \frac{9}{25} \left(\frac{8 \cdot 11 — 13}{13 \cdot 11} \right) = \frac{9}{25} \cdot \frac{75}{13 \cdot 11} = \frac{9 \cdot 75}{25 \cdot 13 \cdot 11} = \frac{9 \cdot 3 \cdot 25}{25 \cdot 143} = \frac{27}{143}.$
Ответ. 27/143.
Пример 2. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его катетов равны 0,95 м и 2,28 м.
Решение. По теореме Пифагора искомая длина гипотенузы (пусть она $x$ м) удовлетворяет уравнению $x^2 = 0,95^2 + 2,28^2$, откуда, поскольку $x \geqslant 0$, получаем: $x = \sqrt{0,95^2 + 2,28^2}$. Сначала избавимся от дробей под корнем:
$x = \sqrt{0,01^2 \cdot 95^2 + 0,01^2 \cdot 228^2} = \sqrt{0,01^2 \cdot (95^2 + 228^2)} = 0,01\sqrt{95^2 + 228^2}$
Теперь, чтоб не возводить 95 и 228 в квадрат, посмотрим, нет ли у них общего множителя. Сразу ясно, что 95 делится на 5, разделим и получим: $95 = 5 \cdot 19$. Понятно, что 228 на 5 не делится, проверим, не делится ли оно на 19. Можно поделить в столбик или в уме, а можно разложить на множители, деля на 2 и 3: $228 = 2 \cdot 114 = 4 \cdot 57 = 4 \cdot 3 \cdot 19$. Итак, всё тот же $x$ равен:
$0,01\sqrt{(19 \cdot 5)^2 + (19 \cdot 12)^2} = 0,01 \cdot \sqrt{19^2(5^2 + 12^2)} = 0,01 \cdot 19 \cdot \sqrt{25 + 144} = 0,01 \cdot 19 \cdot 13$.
Чему равно $19 \cdot 13$, посчитаем в уме: $20 \cdot 13 = 260$, а у нас не 20, а 19, то есть на 13 меньше, 247. Осталось умножить на 0,01, то есть перенести запятую на 2 знака влево. И вспомнить, что все величины мы измеряли в метрах.
Ответ. 2,47 м.
Разложение чисел на множители и вынесение множителя за скобку помогут, например, в следующих упражнениях задачника [1]:
стр. 5–8: А4, А5, А14, А15, С8; стр. 9–13: А3, В3, С12; стр. 14–18: А10, В8, В11, С2.
Задача 1. Вычислите устно
а) $0{,}75 : \frac{3}{4}$
$0{,}75 = \frac{3}{4}$, значит $\frac{3}{4} : \frac{3}{4} = 1$.
Ответ: 1.
б) $-3{,}5 + \frac{7}{2}$
$\frac{7}{2} = 3{,}5$, значит $-3{,}5 + 3{,}5 = 0$.
Ответ: 0.
в) $(\sqrt{144})^2$
Квадратный корень и квадрат взаимно уничтожаются: $(\sqrt{144})^2 = 144$.
Ответ: 144.
г) $0{,}25 \cdot 19 \cdot 4$
Перегруппируем: $0{,}25 \cdot 4 = 1$, затем $1 \cdot 19 = 19$.
Ответ: 19.
д) $\sqrt{81} — 2^4$
$\sqrt{81} = 9$, $2^4 = 16$, значит $9 — 16 = -7$.
Ответ: -7.
е) $6^3 \cdot 6^{-3}$
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $6^{3 + (-3)} = 6^0 = 1$.
Ответ: 1.
ж) $\left(-1\frac{1}{2}\right)^2$
$-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$, $\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25$.
Ответ: $2{,}25$.
з) $1{,}5 \cdot \frac{4}{3}$
$1{,}5 = \frac{3}{2}$, значит $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: 2.
и) $-1{,}25 — \frac{5}{4} + 3$
$\frac{5}{4} = 1{,}25$, значит $-1{,}25 — 1{,}25 + 3 = -2{,}5 + 3 = 0{,}5$.
Ответ: $0{,}5$.
к) $(\sqrt{3})^4$
$(\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{4/2} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9.
л) $0{,}5 : \frac{1}{8} \cdot 15$
$0{,}5 = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} : \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$, затем $4 \cdot 15 = 60$.
Ответ: 60.
м) $2^{-2} + \sqrt{0{,}25}$
$2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, значит $0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}75$.
Ответ: $0{,}75$.
н) $3^7 \cdot 3^{-4}$
$3^{7 + (-4)} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.
о) $\left(-3\frac{1}{3}\right)^3$
$-3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$, $\left(-\frac{10}{3}\right)^3 = -\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1000}{27}$.
п) $2{,}5 \cdot 0{,}4$
$2{,}5 \cdot 0{,}4 = 1$.
Ответ: 1.
р) $-0{,}4 — \frac{2}{5} + 0{,}81$
$\frac{2}{5} = 0{,}4$, значит $-0{,}4 — 0{,}4 + 0{,}81 = -0{,}8 + 0{,}81 = 0{,}01$.
Ответ: $0{,}01$.
с) $\sqrt{4^6}$
$\sqrt{4^6} = (4^6)^{1/2} = 4^3 = 64$.
Ответ: 64.
т) $0{,}3 : \frac{10}{3} : 0{,}2$
$0{,}3 = \frac{3}{10}$, $\frac{3}{10} : \frac{10}{3} = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$, затем $\frac{9}{100} : 0{,}2 = \frac{9}{100} : \frac{1}{5} = \frac{9}{100} \cdot 5 = \frac{45}{100} = 0{,}45$.
Ответ: $0{,}45$.
у) $0{,}5^{-2} — \sqrt{36}$
$0{,}5^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$, $\sqrt{36} = 6$, значит $4 — 6 = -2$.
Ответ: -2.
ф) $0{,}1^8 \cdot 0{,}1^{-10}$
$0{,}1^{8 + (-10)} = 0{,}1^{-2} = (1/10)^{-2} = 10^2 = 100$.
Ответ: 100.
х) $\sqrt{1\frac{9}{16}}$
$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16}$, $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1{,}25$.
Ответ: $1{,}25$.
Задача 2. Найдите значение выражения при $a = 0{,}5$, $b = \sqrt{2}$, $c = 2$
а) $abc$
$0{,}5 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.
б) $a^2 b^2 c^2$
$(0{,}5)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2^2 = 0{,}25 \cdot 2 \cdot 4 = 0{,}25 \cdot 8 = 2$.
Ответ: 2.
в) $a^5 b^4 c^3$
$(0{,}5)^5 \cdot (\sqrt{2})^4 \cdot 2^3 = \frac{1}{32} \cdot 4 \cdot 8 = \frac{1}{32} \cdot 32 = 1$.
Ответ: 1.
г) $ab^2 c^3$
$0{,}5 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2^3 = 0{,}5 \cdot 2 \cdot 8 = 1 \cdot 8 = 8$.
Ответ: 8.
д) $a^5 b^5 c^5$
$(0{,}5 \cdot \sqrt{2} \cdot 2)^5 = (\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.
е) $a^{17} b^{16} c^{15}$
$(0{,}5)^{17} \cdot (\sqrt{2})^{16} \cdot 2^{15} = \frac{1}{2^{17}} \cdot 2^8 \cdot 2^{15} = \frac{2^{23}}{2^{17}} = 2^6 = 64$.
Ответ: 64.
ж) $a^{-2} b^{-2} c^{-2}$
$(0{,}5)^{-2} \cdot (\sqrt{2})^{-2} \cdot 2^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8} = 0{,}5$.
Ответ: $0{,}5$.
з) $a^8 b^{10} c^{-2}$
$(0{,}5)^8 \cdot (\sqrt{2})^{10} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{256} \cdot 2^5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{256} \cdot 32 \cdot \frac{1}{4} = \frac{32}{1024} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.
и) $a^{-10} b^{20} c^{-30}$
$(0{,}5)^{-10} \cdot (\sqrt{2})^{20} \cdot 2^{-30} = 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{-30} = 2^{20} \cdot 2^{-30} = 2^{-10} = \frac{1}{1024}$.
Ответ: $\frac{1}{1024}$.
Задача 3. Вычислите значение выражения
а) $\frac{2^{10} \cdot 2^{15}}{2^{20}}$
$\frac{2^{25}}{2^{20}} = 2^5 = 32$.
Ответ: 32.
б) $3{,}7 \cdot 0{,}32 — 3{,}7 \cdot 0{,}17 + 0{,}15 \cdot 6{,}3$
Вынесем $3{,}7$ за скобки: $3{,}7 \cdot (0{,}32 — 0{,}17) + 0{,}15 \cdot 6{,}3 = 3{,}7 \cdot 0{,}15 + 0{,}15 \cdot 6{,}3 = 0{,}15 \cdot (3{,}7 + 6{,}3) = 0{,}15 \cdot 10 = 1{,}5$.
Ответ: $1{,}5$.
в) $\frac{39 + 175}{25} — 0{,}56$
$\frac{214}{25} = 8{,}56$, $8{,}56 — 0{,}56 = 8$.
Ответ: 8.
г) $\frac{3^{10} \cdot (3^{15})^4}{(3^4)^{16}}$
$\frac{3^{10} \cdot 3^{60}}{3^{64}} = \frac{3^{70}}{3^{64}} = 3^6 = 729$.
Ответ: 729.
д) $1{,}7(3{,}9 — 4{,}73) — 3{,}9 \cdot 0{,}7 + 1{,}7 \cdot 0{,}73$
Раскроем скобки: $1{,}7 \cdot 3{,}9 — 1{,}7 \cdot 4{,}73 — 3{,}9 \cdot 0{,}7 + 1{,}7 \cdot 0{,}73$.
Сгруппируем: $3{,}9(1{,}7 — 0{,}7) + 1{,}7(-4{,}73 + 0{,}73) = 3{,}9 \cdot 1 + 1{,}7 \cdot (-4) = 3{,}9 — 6{,}8 = -2{,}9$.
Ответ: $-2{,}9$.
е) $123{,}4 — \frac{7 + 500}{5}$
$\frac{507}{5} = 101{,}4$, $123{,}4 — 101{,}4 = 22$.
Ответ: 22.
ж) $\frac{125^7 \cdot 35^8}{343^2 \cdot 25^{15}}$
$125 = 5^3$, $35 = 5 \cdot 7$, $343 = 7^3$, $25 = 5^2$.
$\frac{(5^3)^7 \cdot (5 \cdot 7)^8}{(7^3)^2 \cdot (5^2)^{15}} = \frac{5^{21} \cdot 5^8 \cdot 7^8}{7^6 \cdot 5^{30}} = \frac{5^{29} \cdot 7^8}{7^6 \cdot 5^{30}} = \frac{7^2}{5} = \frac{49}{5} = 9{,}8$.
Ответ: $9{,}8$.
з) $1{,}5 \cdot 0{,}32 — 1{,}5(0{,}32 — 0{,}4)$
Вынесем $1{,}5$: $1{,}5 \cdot (0{,}32 — (0{,}32 — 0{,}4)) = 1{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}6$.
Ответ: $0{,}6$.
и) $(-6)^3 — \frac{42 — 900}{3}$
$(-6)^3 = -216$, $\frac{-858}{3} = -286$, $-216 — (-286) = -216 + 286 = 70$.
Ответ: 70.
Задача 4. Вычислите значение выражения…
Вычислите значение выражения, используя формулы сокращённого умножения и, при необходимости, вынесение множителя за скобку:
а) $(3 + \sqrt{2})^2 — (3 — \sqrt{2})^2$
Используем формулу $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$:
$((3 + \sqrt{2}) — (3 — \sqrt{2})) \cdot ((3 + \sqrt{2}) + (3 — \sqrt{2})) = (2\sqrt{2}) \cdot (6) = 12\sqrt{2}$.
Ответ: $12\sqrt{2}$.
б) $199^2 — 198^2$
$(199 — 198)(199 + 198) = 1 \cdot 397 = 397$.
Ответ: 397.
в) $201^2 — 2 \cdot 201 + 1$
Это квадрат разности: $(201 — 1)^2 = 200^2 = 40000$.
Ответ: 40000.
г) $(\sqrt{3} — \sqrt{6})^3$
Используем формулу $(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3$:
$(\sqrt{3})^3 — 3(\sqrt{3})^2\sqrt{6} + 3\sqrt{3}(\sqrt{6})^2 — (\sqrt{6})^3 = 3\sqrt{3} — 9\sqrt{6} + 18\sqrt{3} — 6\sqrt{6} = 21\sqrt{3} — 15\sqrt{6}$.
Ответ: $21\sqrt{3} — 15\sqrt{6}$.
д) $\sqrt{35^2 — 21^2}$
$\sqrt{(35 — 21)(35 + 21)} = \sqrt{14 \cdot 56} = \sqrt{784} = 28$.
Ответ: 28.
е) $2^{14} + 2^{13} + 2^{10}$
Вынесем $2^{10}$: $2^{10}(2^4 + 2^3 + 1) = 1024(16 + 8 + 1) = 1024 \cdot 25 = 25600$.
Ответ: 25600.
ж) $(2^4 — 2^{-3})(2^4 — 2^{-3})$
$(16 — \frac{1}{8})^2 = (\frac{128 — 1}{8})^2 = (\frac{127}{8})^2 = \frac{16129}{64}$.
Ответ: $\frac{16129}{64}$.
з) $\sqrt{125^2 + 300^2}$
$\sqrt{15625 + 90000} = \sqrt{105625} = 325$.
Ответ: 325.
и) $2^{-10} — 2^{-8} \cdot 6^{-1} + 2^{-8} \cdot 6^{-2}$
Вынесем $2^{-10}$: $2^{-10}(1 — 2^2 \cdot 6^{-1} + 2^2 \cdot 6^{-2}) = 2^{-10}(1 — \frac{4}{6} + \frac{4}{36}) = 2^{-10}(1 — \frac{2}{3} + \frac{1}{9}) = 2^{-10}(\frac{9 — 6 + 1}{9}) = 2^{-10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9 \cdot 1024} = \frac{1}{9 \cdot 256} = \frac{1}{2304}$.
Ответ: $\frac{1}{2304}$.
Задача 5. Сколько орехов у Зои?
Зоя заявила, что у неё в кармане вот столько грецких орехов:
$\frac{\sqrt{0{,}72} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{3^{-28}} \cdot \sqrt{880}}{\sqrt{96} \cdot \sqrt{44{,}55} \cdot \sqrt{27^{-10}}}$
Объединим корни: $\sqrt{\frac{0{,}72 \cdot 27 \cdot 3^{-28} \cdot 880}{96 \cdot 44{,}55 \cdot 27^{-10}}}$
Упростим числа:
$0{,}72 = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}$, $44{,}55 = \frac{4455}{100} = \frac{891}{20}$.
$27 = 3^3$, $27^{-10} = (3^3)^{-10} = 3^{-30}$.
$880 = 88 \cdot 10 = 8 \cdot 11 \cdot 10 = 2^4 \cdot 5 \cdot 11$.
$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
Подставим:
$\sqrt{\frac{\frac{18}{25} \cdot 3^3 \cdot 3^{-28} \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11}{2^5 \cdot 3 \cdot \frac{891}{20} \cdot 3^{-30}}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 3^{-25} \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 20}{25 \cdot 2^5 \cdot 3 \cdot 891 \cdot 3^{-30}}}$
Упростим степени и числа:
Числитель: $18 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 20 \cdot 3^{-25} = 2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 3^{-25} = 2^7 \cdot 3^{-23} \cdot 5^2 \cdot 11$.
Знаменатель: $25 \cdot 2^5 \cdot 3 \cdot 891 \cdot 3^{-30} = 5^2 \cdot 2^5 \cdot 3 \cdot 3^4 \cdot 11 \cdot 3^{-30} = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 3^{-25}$.
Дробь: $\frac{2^7 \cdot 3^{-23} \cdot 5^2 \cdot 11}{2^5 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 3^{-25}} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$.
Корень: $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: шесть.
Задача 6*. Сколько конфет обещает Федя?
Федя обещает целую коробку, а именно — вот столько конфет:
$\left(\frac{3\left(\frac{17}{90} — 0{,}125 : 1\frac{1}{8}\right) : 480}{\left(7 : 1{,}8 — 2\frac{1}{3} : 1{,}5\right) : 2\frac{2}{3}}\right)^{-1} : \left(\frac{679 \cdot 10^{-3}}{0{,}07} + 0{,}3\right)$
Шаг 1. Числитель дроби в скобках:
$0{,}125 = \frac{1}{8}$, $1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$, $\frac{1}{8} : \frac{9}{8} = \frac{1}{9}$.
$\frac{17}{90} — \frac{1}{9} = \frac{17 — 10}{90} = \frac{7}{90}$.
$3 \cdot \frac{7}{90} = \frac{7}{30}$.
$\frac{7}{30} : 480 = \frac{7}{30 \cdot 480} = \frac{7}{14400}$.
Шаг 2. Знаменатель дроби в скобках:
$7 : 1{,}8 = 7 : \frac{9}{5} = \frac{35}{9}$.
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $1{,}5 = \frac{3}{2}$, $\frac{7}{3} : \frac{3}{2} = \frac{14}{9}$.
$\frac{35}{9} — \frac{14}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$\frac{7}{3} : 2\frac{2}{3} = \frac{7}{3} : \frac{8}{3} = \frac{7}{8}$.
Шаг 3. Дробь в скобках:
$\frac{7/14400}{7/8} = \frac{7}{14400} \cdot \frac{8}{7} = \frac{8}{14400} = \frac{1}{1800}$.
Шаг 4. Возведение в степень -1:
$\left(\frac{1}{1800}\right)^{-1} = 1800$.
Шаг 5. Вторая часть выражения (делитель):
$\frac{679 \cdot 10^{-3}}{0{,}07} = \frac{0{,}679}{0{,}07} = \frac{679}{70} = 9{,}7$.
$9{,}7 + 0{,}3 = 10$.
Шаг 6. Итоговое деление:
$1800 : 10 = 180$.
Ответ: 180.
Список литературы:
[1] С.А. Шестаков, И.В. Ященко. Математика. Многоуровневый сборник задач. 7–9 классы. Часть 1. Алгебра. Москва. Просвещение. 2020.[2] И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями. 2-е издание. Москва. Бином. 2004.
[3] Блинков А.Д. «Учимся на чужих ошибках». МЦНМО. 2019.
[4] И.М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. МЦНМО. 4-е изд. 2017. https://www.mccme.ru/ free-books/shen/gelfand-shen-algebra.pdf
[5] Алфутова Н.Б., Устинов А. В. «Алгебра и теория чисел». МЦНМО. 2002. https:// www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
[6] Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии» http://zadachi.mccme. ru/
[7] М.А. Волчкевич. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы. МЦНМО, 2016.
[8] И.В. Раскина. Логика для всех. От пиратов до мудрецов. МЦНМО. 2016.
[9] Александр Шень (под ред.). Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам мате-
матического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс В) (c1). М.: МЦНМО, 2000, 272 с. https://www.mccme.ru/free-books/57/shen .pdf
Вы смотрели: Математическая вертикаль Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях. Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 1.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника