Математическая вертикаль: Повторение за 7-8 классы. 2) Квадратный корень и степень с целым показателем. Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 2.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Этот материал составлен для повторения программы 7 и 8 классов и полноценного освоения курса 9 класса. Кроме того, можно использовать задачник [1].
ПОВТОРЕНИЕ: 2.1. Квадратный корень
Определение 1. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
Пример 3.
Вычислите \( \sqrt{7056} \).
Решение.
Способ 1. Оценим значение \( \sqrt{7056} \) с двух сторон, а если повезёт — то и точное значение найдём.
Вопрос 1. Что больше: \( \sqrt{7056} \) или 50? \( \sqrt{7056} \) или 100? \( \sqrt{7056} \) или 90?
Вопрос 2. На какую цифру может оканчиваться целое число, если его квадрат оканчивается на цифру 6?
Ясно, что \( 80^2 = 6400 \), значит, \( 80 < \sqrt{7056} \). А вот \( 90^2 = 8100 \Rightarrow \sqrt{7056} < 90 \). Таким образом, искомое значение где-то между 80 и 90. Мы надеемся (хоть и не уверены), что корень извлекается и \( \sqrt{7056} \) — целое число. Тогда на конце этого числа стоит либо 4, либо 6. То есть у нас всего два кандидата: 84 и 86. Начнём с меньшего:
\(84^2 = (80 + 4)^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 4 + 16 = 6400 + 640 + 16 = 7040 + 16 = 7056.\)
Ура!
Способ 2. Упростим выражение \( \sqrt{7056} \), раскладывая число под корнем на множители. Ясно, что \( 7056 \) делится на 2 и даже на 4, получим
\(7056 = 2 \cdot 3528 = 2 \cdot 2 \cdot 1764.\)
Далее, число 1764 делится на 9 (по признаку делимости), получаем:
\(2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 196,\)
а 196 входит в таблицу квадратов, так что многие даже помнят, что \( 196 = 14^2 \). Итак,
\(\sqrt{7056} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 14^2} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 9} \cdot \sqrt{14^2} = 2 \cdot 3 \cdot 14 = 84.\)
Вопрос 3. В чём заключаются признаки делимости целого числа на 4, 8, 3 и 9?
Ответ. 84.
Задача 7. Между какими последовательными целыми числами находится число
а) $\sqrt{53}$
Найдём ближайшие квадраты целых чисел: $7^2 = 49$, $8^2 = 64$.
Так как $49 < 53 < 64$, то $7 < \sqrt{53} < 8$.
Ответ: между 7 и 8.
б) $\sqrt{126}$
$11^2 = 121$, $12^2 = 144$.
Так как $121 < 126 < 144$, то $11 < \sqrt{126} < 12$.
Ответ: между 11 и 12.
в) $7 + \sqrt{41}$
$6^2 = 36$, $7^2 = 49$, значит $6 < \sqrt{41} < 7$.
Прибавим 7: $7 + 6 < 7 + \sqrt{41} < 7 + 7$, то есть $13 < 7 + \sqrt{41} < 14$.
Ответ: между 13 и 14.
г) $-5 + \sqrt{11}$
$3^2 = 9$, $4^2 = 16$, значит $3 < \sqrt{11} < 4$.
Прибавим -5: $-5 + 3 < -5 + \sqrt{11} < -5 + 4$, то есть $-2 < -5 + \sqrt{11} < -1$.
Ответ: между -2 и -1.
д) $\sqrt{15} + \sqrt{34}$
$\sqrt{15}$: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, значит $3 < \sqrt{15} < 4$.
$\sqrt{34}$: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, значит $5 < \sqrt{34} < 6$.
Сложим неравенства: $3 + 5 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 4 + 6$, то есть $8 < \sqrt{15} + \sqrt{34} < 10$.
Уточним: $\sqrt{15} \approx 3{,}87$, $\sqrt{34} \approx 5{,}83$, сумма $\approx 9{,}7$.
Значит, число находится между 9 и 10.
Ответ: между 9 и 10.
е) $\sqrt{19} + \sqrt{87}$
$\sqrt{19}$: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, значит $4 < \sqrt{19} < 5$.
$\sqrt{87}$: $9^2 = 81$, $10^2 = 100$, значит $9 < \sqrt{87} < 10$.
Сложим: $4 + 9 < \sqrt{19} + \sqrt{87} < 5 + 10$, то есть $13 < \sqrt{19} + \sqrt{87} < 15$.
Уточним: $\sqrt{19} \approx 4{,}36$, $\sqrt{87} \approx 9{,}33$, сумма $\approx 13{,}69$.
Значит, число находится между 13 и 14.
Ответ: между 13 и 14.
Задача 8. Вынесите множитель из-под знака корня
а) $\sqrt{18}$
$18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$.
$\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.
б) $\sqrt{52}$
$52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.
$\sqrt{52} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.
Ответ: $2\sqrt{13}$.
в) $\sqrt{162}$
$162 = 81 \cdot 2 = 9^2 \cdot 2$.
$\sqrt{162} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$.
Ответ: $9\sqrt{2}$.
г) $\sqrt{392}$
$392 = 196 \cdot 2 = 14^2 \cdot 2$.
$\sqrt{392} = \sqrt{14^2 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$.
Ответ: $14\sqrt{2}$.
Задача 9. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
а) $\frac{1}{\sqrt{11}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$:
$\frac{1 \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{11}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{11}$.
б) $\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$\frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{15}}{5} = \sqrt{15}$.
Ответ: $\sqrt{15}$.
в) $\frac{2}{\sqrt{7} + 1}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{7} — 1$:
$\frac{2(\sqrt{7} — 1)}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} — 1)} = \frac{2(\sqrt{7} — 1)}{7 — 1} = \frac{2(\sqrt{7} — 1)}{6} = \frac{\sqrt{7} — 1}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7} — 1}{3}$.
г) $\frac{1}{2\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}$:
$\frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{(2\sqrt{5} — 5\sqrt{2})(2\sqrt{5} + 5\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})^2 — (5\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{20 — 50} = \frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{-30} = -\frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{30}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}}{30}$.
д) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} — 1}$
Сгруппируем: $\frac{1}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) — 1}$. Умножим на сопряжённое $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1$:
$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1}{((\sqrt{3} + \sqrt{2}) — 1)((\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1)} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 — 1^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}{3 + 2\sqrt{6} + 2 — 1} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}{4 + 2\sqrt{6}}$.
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе $4 + 2\sqrt{6}$, умножив на $4 — 2\sqrt{6}$:
$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)(4 — 2\sqrt{6})}{(4 + 2\sqrt{6})(4 — 2\sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)(4 — 2\sqrt{6})}{16 — 24} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1)(4 — 2\sqrt{6})}{-8}$.
Раскроем числитель: $4\sqrt{3} — 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} — 2\sqrt{12} + 4 — 2\sqrt{6} = 4\sqrt{3} — 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} — 4\sqrt{3} + 4 — 2\sqrt{6} = -2\sqrt{2} + 4 — 2\sqrt{6}$.
Итого: $\frac{-2\sqrt{2} + 4 — 2\sqrt{6}}{-8} = \frac{2\sqrt{2} — 4 + 2\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} — 2}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} — 2}{4}$.
е) $\frac{1}{\sqrt{3} — \sqrt{7} + 2}$
Сгруппируем: $\frac{1}{(\sqrt{3} + 2) — \sqrt{7}}$. Умножим на сопряжённое $(\sqrt{3} + 2) + \sqrt{7}$:
$\frac{(\sqrt{3} + 2) + \sqrt{7}}{((\sqrt{3} + 2) — \sqrt{7})((\sqrt{3} + 2) + \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{7}}{(\sqrt{3} + 2)^2 — 7} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{7}}{3 + 4\sqrt{3} + 4 — 7} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$.
Теперь умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{7})\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{12}$.
Ответ: $\frac{3 + 2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{12}$.
ж) $\frac{ab}{\sqrt{a^5 b^3}}$
Упростим знаменатель: $\sqrt{a^5 b^3} = \sqrt{a^4 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = a^2 b \sqrt{ab}$.
Дробь: $\frac{ab}{a^2 b \sqrt{ab}} = \frac{1}{a \sqrt{ab}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$:
$\frac{\sqrt{ab}}{a \cdot ab} = \frac{\sqrt{ab}}{a^2 b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{a^2 b}$.
з) $\frac{m}{\sqrt{x}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$:
$\frac{m \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m \sqrt{x}}{x}$.
Ответ: $\frac{m \sqrt{x}}{x}$.
Задача 10. Упростите выражение $\sqrt{20 + 8\sqrt{4 — m} — m}$
Заметим, что выражение под корнем похоже на полный квадрат.
Представим $20 — m$ как $16 + (4 — m)$.
Тогда выражение: $\sqrt{16 + (4 — m) + 8\sqrt{4 — m}}$.
Пусть $t = \sqrt{4 — m}$, тогда $t^2 = 4 — m$, и $20 — m = 16 + t^2$.
Выражение под корнем: $16 + t^2 + 8t = (t + 4)^2$.
Значит, $\sqrt{(t + 4)^2} = |t + 4|$.
Так как $t = \sqrt{4 — m} \geq 0$, то $t + 4 > 0$, и модуль можно убрать: $t + 4 = \sqrt{4 — m} + 4$.
Ответ: $4 + \sqrt{4 — m}$.
Задача 11. Сравните числа
а) $\sqrt{37}$ и $2\sqrt{10}$
Возведём в квадрат: $(\sqrt{37})^2 = 37$, $(2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
Так как $37 < 40$, то $\sqrt{37} < 2\sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{37} < 2\sqrt{10}$.
б) $\sqrt{3} — 2$ и $\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$, значит $\sqrt{3} — 2 \approx -0{,}27$.
$\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
Отрицательное число меньше положительного.
Ответ: $\sqrt{3} — 2 < \sqrt{2}$.
в) $\sqrt{3} + 1$ и $\sqrt{7}$
Возведём в квадрат: $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3{,}46 = 7{,}46$.
$(\sqrt{7})^2 = 7$.
Так как $7{,}46 > 7$, то $\sqrt{3} + 1 > \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{3} + 1 > \sqrt{7}$.
г) $\sqrt{13} — \sqrt{21}$ и $-\sqrt{2}$
$\sqrt{13} \approx 3{,}61$, $\sqrt{21} \approx 4{,}58$, значит $\sqrt{13} — \sqrt{21} \approx -0{,}97$.
$-\sqrt{2} \approx -1{,}41$.
Так как $-0{,}97 > -1{,}41$, то $\sqrt{13} — \sqrt{21} > -\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{13} — \sqrt{21} > -\sqrt{2}$.
д) $\sqrt{8} — \sqrt{6}$ и $2 — \sqrt{3}$
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$, $\sqrt{6} \approx 2{,}45$, значит $\sqrt{8} — \sqrt{6} \approx 0{,}38$.
$2 — \sqrt{3} \approx 2 — 1{,}73 = 0{,}27$.
Так как $0{,}38 > 0{,}27$, то $\sqrt{8} — \sqrt{6} > 2 — \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{8} — \sqrt{6} > 2 — \sqrt{3}$.
е) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{6\sqrt{2}}$
Возведём в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
$(\sqrt{6\sqrt{2}})^2 = 6\sqrt{2} \approx 6 \cdot 1{,}41 = 8{,}46$.
Так как $12 > 8{,}46$, то $2\sqrt{3} > \sqrt{6\sqrt{2}}$.
Ответ: $2\sqrt{3} > \sqrt{6\sqrt{2}}$.
ж) $\sqrt{17} — \sqrt{15}$ и $\sqrt{7} — \sqrt{5}$
Умножим и разделим каждую разность на сопряжённое:
$\sqrt{17} — \sqrt{15} = \frac{17 — 15}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{17} + \sqrt{15}}$.
$\sqrt{7} — \sqrt{5} = \frac{7 — 5}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$.
Сравним знаменатели: $\sqrt{17} + \sqrt{15} > \sqrt{7} + \sqrt{5}$, значит дробь с большим знаменателем меньше.
Следовательно, $\sqrt{17} — \sqrt{15} < \sqrt{7} — \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{17} — \sqrt{15} < \sqrt{7} — \sqrt{5}$.
з) $\sqrt{3 + \sqrt{5 + \sqrt{8}}}$ и $1 + \sqrt{2}$
Упростим $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Вычислим приближённо: $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \approx \sqrt{5 + 2{,}83} = \sqrt{7{,}83} \approx 2{,}8$.
Тогда $\sqrt{3 + 2{,}8} = \sqrt{5{,}8} \approx 2{,}41$.
$1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1{,}41 = 2{,}41$.
Проверим точнее: возведём $1 + \sqrt{2}$ в квадрат: $(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} \approx 3 + 2{,}83 = 5{,}83$.
Теперь возведём в квадрат исходное выражение: $3 + \sqrt{5 + \sqrt{8}} = 3 + \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$.
Сравним $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$ и $2\sqrt{2}$:
$(\sqrt{5 + 2\sqrt{2}})^2 = 5 + 2\sqrt{2} \approx 7{,}83$.
$(2\sqrt{2})^2 = 8$.
Так как $7{,}83 < 8$, то $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}} < 2\sqrt{2}$, значит $3 + \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} < 3 + 2\sqrt{2}$.
Следовательно, $\sqrt{3 + \sqrt{5 + \sqrt{8}}} < 1 + \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3 + \sqrt{5 + \sqrt{8}}} < 1 + \sqrt{2}$.
ПОВТОРЕНИЕ: 2.2. Полный квадрат
и разложение на множители
Определение 2. Если — натуральное число и ≠ 0, то – = 1/() .
Задача 12. Представьте числа $\frac{1}{81}, \frac{1}{27}, \frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 81$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$.
Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, а все данные числа — это степени тройки. Представим каждое число как степень 3, а затем преобразуем к основанию $\frac{1}{3}$.
- $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} = (3^{-1})^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^4$.
- $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} = (3^{-1})^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.
- $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} = (3^{-1})^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
- $\frac{1}{3} = 3^{-1} = (3^{-1})^1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
- $1 = 3^0 = (3^{-1})^0 = \left(\frac{1}{3}\right)^0$.
- $3 = 3^1 = (3^{-1})^{-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.
- $9 = 3^2 = (3^{-1})^{-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$.
- $81 = 3^4 = (3^{-1})^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Ответ:
$\frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$;
$\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$;
$\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$;
$\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$;
$1 = \left(\frac{1}{3}\right)^0$;
$3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$;
$9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$;
$81 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Задача 13. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало нулевых и отрицательных показателей.
а) $m^3 n^{-2}$
$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$, значит $m^3 n^{-2} = \frac{m^3}{n^2}$.
Ответ: $\frac{m^3}{n^2}$.
б) $a^0 b^3$
$a^0 = 1$ (при $a \neq 0$), значит $a^0 b^3 = 1 \cdot b^3 = b^3$.
Ответ: $b^3$.
в) $7x^{-1} y^0$
$y^0 = 1$ (при $y \neq 0$), $x^{-1} = \frac{1}{x}$, значит $7x^{-1} y^0 = 7 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{7}{x}$.
Ответ: $\frac{7}{x}$.
г) $7^{-1} a^{-1} b^3 c^{-1}$
$7^{-1} = \frac{1}{7}$, $a^{-1} = \frac{1}{a}$, $c^{-1} = \frac{1}{c}$, значит $7^{-1} a^{-1} b^3 c^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{a} \cdot b^3 \cdot \frac{1}{c} = \frac{b^3}{7ac}$.
Ответ: $\frac{b^3}{7ac}$.
д) $(a — b)(a + 2)^{-2}$
$(a + 2)^{-2} = \frac{1}{(a + 2)^2}$, значит $(a — b)(a + 2)^{-2} = \frac{a — b}{(a + 2)^2}$.
Ответ: $\frac{a — b}{(a + 2)^2}$.
е) $(x + y)(x — y)^{-1}$
$(x — y)^{-1} = \frac{1}{x — y}$, значит $(x + y)(x — y)^{-1} = \frac{x + y}{x — y}$.
Ответ: $\frac{x + y}{x — y}$.
ж) $(m + n)^0 (m — n)^{-3}$
$(m + n)^0 = 1$ (при $m + n \neq 0$), $(m — n)^{-3} = \frac{1}{(m — n)^3}$, значит $(m + n)^0 (m — n)^{-3} = \frac{1}{(m — n)^3}$.
Ответ: $\frac{1}{(m — n)^3}$.
з) $c^{-2} (a + 2b)^{-1}$
$c^{-2} = \frac{1}{c^2}$, $(a + 2b)^{-1} = \frac{1}{a + 2b}$, значит $c^{-2} (a + 2b)^{-1} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{a + 2b} = \frac{1}{c^2(a + 2b)}$.
Ответ: $\frac{1}{c^2(a + 2b)}$.
Задача 14. Найдите значение выражения.
а) $2^{-5} \cdot 2^4$
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $2^{-5 + 4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
б) $5^3 \cdot 5^{-7} \cdot 5^2$
Складываем показатели: $5^{3 + (-7) + 2} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.
в) $\left(\frac{3}{2}\right)^{-4} \cdot (1{,}5)^3$
Заметим, что $1{,}5 = \frac{3}{2}$. Тогда $\left(\frac{3}{2}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-4 + 3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
г) $(\sqrt{2})^{-3} \cdot (\sqrt{2})^{-1}$
Складываем показатели: $(\sqrt{2})^{-3 + (-1)} = (\sqrt{2})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.
д) $7^{-5} : 7^{-3}$
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $7^{-5 — (-3)} = 7^{-2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.
е) $3^{-14} : 3^{-16}$
$3^{-14 — (-16)} = 3^{2} = 9$.
Ответ: 9.
ж) $(2^{-3})^{-2}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $2^{-3 \cdot (-2)} = 2^6 = 64$.
Ответ: 64.
з) $(\sqrt{3}^{-3})^{-4}$
$(\sqrt{3})^{-3 \cdot (-4)} = (\sqrt{3})^{12} = (3^{1/2})^{12} = 3^6 = 729$.
Ответ: 729.
и) $7^0 \cdot 7^{-2}$
$7^0 = 1$, значит $1 \cdot 7^{-2} = 7^{-2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.
Список литературы:
[1] С.А. Шестаков, И.В. Ященко. Математика. Многоуровневый сборник задач. 7–9 классы. Часть 1. Алгебра. Москва. Просвещение. 2020.[2] И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями. 2-е издание. Москва. Бином. 2004.
[3] Блинков А.Д. «Учимся на чужих ошибках». МЦНМО. 2019.
[4] И.М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. МЦНМО. 4-е изд. 2017. https://www.mccme.ru/ free-books/shen/gelfand-shen-algebra.pdf
[5] Алфутова Н.Б., Устинов А. В. «Алгебра и теория чисел». МЦНМО. 2002. https:// www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
[6] Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии» http://zadachi.mccme. ru/
[7] М.А. Волчкевич. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы. МЦНМО, 2016.
[8] И.В. Раскина. Логика для всех. От пиратов до мудрецов. МЦНМО. 2016.
[9] Александр Шень (под ред.). Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам мате-
матического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс В) (c1). М.: МЦНМО, 2000, 272 с. https://www.mccme.ru/free-books/57/shen .pdf
Вы смотрели: Математическая вертикаль Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях. Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 2.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника