Частная школа. 9 класс

Математическая вертикаль: Повторение за 7-8 классы. 3) Логика. Следствие и равносильность. Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 3.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

Этот материал составлен для повторения программы 7 и 8 классов и полноценного освоения курса 9 класса. Кроме того, можно использовать задачник [1].

ПОВТОРЕНИЕ: 3. Логика. Следствие и равносильность

Напомним, что два утверждения называются равносильными, если они могут быть верны только одновременно. Говорят, что первое из равносильных утверждений верно тогда и только тогда, когда верно второе. Равносильность обозначают знаком «⇔».

Например, + 3 = 5  7 = 14. Неважно, что сообщить про число : что « + 3 = 5» или что «7 = 14» — по сути это будет одна и та же информация.

Вопрос 4. Какие уравнения (неравенства, системы уравнений и неравенств) называются равносильными?

Не любые утверждения равносильны. Например, утверждения «² + 2 = 3» и « — нечётное число» — никак не связаны между собой и, конечно, не равносильны.
Иногда про два неравносильных утверждения можно сказать, что одно из них сильнее другого (а второе, соответственно, «слабее» первого).

Определение 3. Если утверждение является следствием утверждения , но не равносильно ему, говорят, что утверждение более сильное, чем утверждение .

Замечание 2. Некоторые утверждения нельзя сравнить «по силе». Например, про утверждения « — чётно» и « > 10» нельзя сказать, какое из них сильнее, так как ни одно из них из другого не следует.

Пример 4.

Найдите среди данных утверждений самое сильное и самое слабое.

• А. Миша решил все задачи из сегодняшнего домашнего задания.
• Б. Миша решил задачу №6 из сегодняшнего домашнего задания.
• В. Миша решил некоторые задачи из сегодняшнего домашнего задания. Г. Миша в этом году решил хотя бы одну из заданных на дом задач.
• Д. Миша всегда решает все задачи из домашнего задания.

Решение. Посмотрим на утверждения как на информацию, сообщённую нам про Мишу. Какие выводы мы можем сделать в каждом случае?

Например, ясно, что если Миша всегда всё решает, то и в этом году, и сегодня он решил всё, в том числе №6. Поэтому из утверждения Д вытекают все остальные, а значит утверждение Д — самое сильное. Если Миша так силён, что про него верно утверждение Д, то все остальные четыре утверждения верны автоматически.

Попробуем теперь расположить остальные утверждения в виде цепочки следствий. Если Миша решил все задачи сегодня, то и задачу №6 решил. Если он решил задачу №6, то не будет ложью сказать, что он сегодня решил «некоторые задачи». А раз уж он сегодня решил некоторые задачи, то и в этом году он что-то решил.

Итак, получаем схему Д ⇒ А ⇒ Б ⇒ В ⇒ Г.
Значит, утверждение Г — самое слабое из предложенных. Оно робко предполагает, что Миша в этом году решил хоть что-то, необязательно всё, необязательно сегодня, необязательно №6. . .
Ответ. Г — самое слабое, Д — самое сильное.

Вопрос 5. А куда в схему из примера 4 попали бы следующие утверждения:

• Е: «Миша решил хотя бы две задачи из вчерашнего домашнего задания»?
• Ё: «В Мишином классе все ученики всегда справляются со всеми задачами из домашнего задания»?
• Ж: «В Мишином классе некоторые ученики иногда справляются с некоторыми задачами из домашнего задания»?

Пример 5.

Про число \( x \) было сделано несколько верных утверждений.

Аня: «\( x \) — положительное»;

Боря: «\( 3x — 2 > 0 \)»;

Вита: «\( x^2 + 5x + 3 > 0 \)»;

Гриша: «\( 3x — 2 \geq 0 \)»;

Даша: «\( 9x^2 — 17x + 8 = 0 \)».

Докажите, что достаточно было сообщить лишь одно из них.

Решение. Запишем те же самые утверждения чуть более кратко, а затем расставим между ними знаки следствий:

А: \( x > 0 \);

Б: \( x > \frac{2}{3} \);

В: \( x^2 + 5x + 3 > 0 \);

Г: \( x \geq \frac{2}{3} \);

Д: \( (9x — 8)(x — 1) = 0 \).

Сразу видно, что утверждения Бори и Гриши очень похожи. Какое из них сильнее? Гриша утверждает, что число либо больше \( \frac{2}{3} \), либо равно \( \frac{2}{3} \), а Боря уверен, что оно именно больше. Значит, Боря даёт нам более точную информацию, сужает множество подходящих иксов, и Борино утверждение сильнее Гришиного:

\(x > \frac{2}{3} \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}.\)

Утверждения Ани и Вити ещё слабее. Если мы знаем, что \( x > \frac{2}{3} \), то уже можно не добавлять, что \( x \) положительный, а тогда и выражение \( x^2 + 5x + 3 \) положительно:

\(x > \frac{2}{3} \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \Rightarrow x > 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 > 0.\)

Наконец, рассмотрим утверждение Даши. Мы разложили квадратный трёхчлен на множители и видим, что его корнями являются числа \( x = \frac{8}{9} \) и \( x = 1 \). Значит, Даша сообщает нам, что \( x \) равен одному из двух чисел: то ли \( \frac{8}{9} \), то ли \( 1 \). Из Дашиного утверждения следует, что \( x \) точно больше \( \frac{2}{3} \), а значит и все остальные утверждения из него тоже вытекают.

Итак, получаем схему

\(9x^2 — 17x + 8 = 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3} \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \Rightarrow x > 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 > 0,\)

и делаем вывод, что достаточно было сообщить только Дашино утверждение, все остальные из него бы следовали.

Пример 6*.

Решить неравенство

\((2x — 3)^2 + \sqrt{-x — 1} > 20.\)

Решение. Неравенство выглядит пугающе. И квадрат, и корень. Мы таких не решали.

Попробуем вывести из имеющихся данных хоть какое-нибудь следствие. Что можно с уверенностью сказать про число \( x \), удовлетворяющее этому неравенству?

Во всяком случае, для всех решений нашего неравенства выражение \( \sqrt{-x — 1} \) должно быть определено, то есть

\(-x — 1 \geq 0.\)

А теперь попробуем использовать этот вывод для оценки величины левой части выражения:

\(-x — 1 \geq 0 \;\Leftrightarrow\; -1 \geq x \;\Leftrightarrow\; x \leq -1 \;\Leftrightarrow\; 2x \leq -2 \;\Leftrightarrow\;\)

\(\Leftrightarrow\; 2x — 3 \leq -5 \;\Leftrightarrow\; |2x — 3| \geq 5 \;\Leftrightarrow\; (2x — 3)^2 \geq 25 \;\Rightarrow\;\)

\(\Rightarrow\; (2x — 3)^2 + \sqrt{-x — 1} \geq 25 \;\Rightarrow\; (2x — 3)^2 + \sqrt{-x — 1} > 20.\)

Итак, наше неравенство верно для всех допустимых значений переменной.

Ответ: \( (-\infty; -1] \).

---

Задача 15. Равносильны ли следующие утверждения?

Равносильны ли следующие утверждения? Не забудьте обосновать свой ответ. Там, где возможно, предложите исправление одного из утверждений или дополнительные условия на значения переменных, при которых утверждения станут равносильными.

а) $12x^2 — 144x = 180$ и $x^2 — 12x = 15$

Разделим первое уравнение на 12: $\frac{12x^2}{12} — \frac{144x}{12} = \frac{180}{12} \Rightarrow x^2 — 12x = 15$.

Преобразование равносильно, так как деление на ненулевое число не меняет множество решений.

Ответ: утверждения равносильны.

б) $(\sqrt{2} — 1)x^2 + x = \sqrt{2}$ и $x^2 + (\sqrt{2} + 1)x = 2 + \sqrt{2}$

Умножим первое уравнение на $\sqrt{2} + 1$:

$(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)x^2 + (\sqrt{2} + 1)x = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.

$(2 — 1)x^2 + (\sqrt{2} + 1)x = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow x^2 + (\sqrt{2} + 1)x = 2 + \sqrt{2}$.

Преобразование равносильно, так как $\sqrt{2} + 1 \neq 0$.

Ответ: утверждения равносильны.

в) $ax^2 + bx + c = 0$ и $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Второе уравнение получено делением первого на $a$. Это равносильно только при $a \neq 0$. Если $a = 0$, первое уравнение становится линейным, а второе не определено.

Ответ: утверждения равносильны при условии $a \neq 0$.

г) $ax^2 + bx + c = 0$ и $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{1}{4a}(b^2 — 4ac)$

Преобразуем первое уравнение, выделяя полный квадрат:

$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = 0 \Rightarrow a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 — \frac{b^2}{4a^2}\right) + c = 0$.

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 — \frac{b^2}{4a} + c = 0 \Rightarrow a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a} — c = \frac{b^2 — 4ac}{4a}$.

Преобразование равносильно при $a \neq 0$.

Ответ: утверждения равносильны при условии $a \neq 0$.

д) $x^2 = 4 — 2\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3} — 1$

Проверим, является ли $x = \sqrt{3} — 1$ корнем первого уравнения:

$(\sqrt{3} — 1)^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3}$. Верно.

Однако уравнение $x^2 = 4 — 2\sqrt{3}$ имеет два корня: $x = \sqrt{3} — 1$ и $x = -(\sqrt{3} — 1) = 1 — \sqrt{3}$.

Второе утверждение задаёт только один из корней.

Ответ: утверждения не равносильны. Чтобы сделать их равносильными, нужно добавить условие $x > 0$ (или $x = \sqrt{3} — 1$ или $x = 1 — \sqrt{3}$).

е) $a \geqslant b$ и $ak \geqslant bk$

Это равносильно только при $k > 0$. Если $k = 0$, второе неравенство превращается в $0 \geqslant 0$ (всегда верно), а первое может быть ложным. Если $k < 0$, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: утверждения не равносильны. Они равносильны при условии $k > 0$.

ж) $x = \sqrt{2}$ и $x^2 = 2$

Из $x = \sqrt{2}$ следует $x^2 = 2$. Но из $x^2 = 2$ следует $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$.

Ответ: утверждения не равносильны. Чтобы сделать их равносильными, нужно добавить условие $x > 0$.

з) $x < 2\sqrt{2}$ и $x^2 < 8$

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$. Из $x < \sqrt{8}$ не следует $x^2 < 8$ (например, $x = -3$, $-3 < \sqrt{8}$, но $(-3)^2 = 9 > 8$).

Из $x^2 < 8$ следует $-\sqrt{8} < x < \sqrt{8}$, что сильнее, чем просто $x < \sqrt{8}$.

Ответ: утверждения не равносильны. Чтобы сделать их равносильными, нужно добавить условие $x \geqslant 0$ к первому утверждению.

Задача 16. Расставьте стрелки $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ между утверждениями и укажите самое слабое и самое сильное из них.

Анализ утверждений:

• G. $x = \sqrt{29}$. Это конкретное число.
• A. $x > 4$.
• B. $x \geqslant 4$.
• C. $x > 3$.
• D. $-0,25x + 1 \leqslant 0 \Rightarrow -0,25x \leqslant -1 \Rightarrow x \geqslant 4$. Это то же самое, что B.
• F. $x^2 > 9 \Rightarrow x < -3$ или $x > 3$.
• E. $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.

Связи:

• $G \Rightarrow A$ (так как $\sqrt{29} > \sqrt{16} = 4$).
• $A \Rightarrow B$ (если $x > 4$, то $x \geqslant 4$).
• $B \Leftrightarrow D$.
• $B \Rightarrow C$ (если $x \geqslant 4$, то $x > 3$).
• $C \Rightarrow F$ (если $x > 3$, то $x^2 > 9$).
• $F \Rightarrow E$ (если $x^2 > 9$, то $x^2 > 0$).

Цепочка: $G \Rightarrow A \Rightarrow B \Leftrightarrow D \Rightarrow C \Rightarrow F \Rightarrow E$.

Самое сильное утверждение: G ($x = \sqrt{29}$). Оно накладывает самое строгое ограничение на $x$.

Самое слабое утверждение: E ($x^2 > 0$). Оно верно для всех $x$, кроме 0.

Ответ:
Самое сильное: G.
Самое слабое: E.
Связи: $G \Rightarrow A \Rightarrow B \Leftrightarrow D \Rightarrow C \Rightarrow F \Rightarrow E$.

Задача 17*. Следствия из неравенства $\sqrt{x — 5} + \sqrt{x — 7} > 1$.

Андрей вывел из этого неравенства несколько следствий. Выясните, какие из следствий
верны, и выберите среди них самое сильное.
Сначала найдём область определения: $x — 5 \geqslant 0$ и $x — 7 \geqslant 0$, значит $x \geqslant 7$.

а) $x \geqslant 5$.

Верно, так как $x \geqslant 7 \Rightarrow x \geqslant 5$. Но это очень слабое следствие.

б) $x \geqslant 7$.

Верно, это условие области определения.

в) $x > 7$.

Проверим $x = 7$: $\sqrt{7 — 5} + \sqrt{7 — 7} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \approx 1,41 > 1$. Значит, $x = 7$ является решением. Следствие неверно.

г) $x — 5 \geqslant 2 \Rightarrow x \geqslant 7$.

Это то же самое, что б).

д) $\sqrt{x — 5} > \sqrt{2}$.

Если $x = 7$, $\sqrt{2} > \sqrt{2}$ — неверно. Значит, следствие неверно.

е) $\sqrt{x — 5} + \sqrt{x — 7} \geqslant \sqrt{2}$.

Исходное неравенство строгое ($> 1$). При $x = 7$ сумма равна $\sqrt{2} \approx 1,41 > 1$. При $x > 7$ сумма только увеличивается. Значит, сумма всегда $\geqslant \sqrt{2}$. Следствие верно.

Сравнение верных следствий (а, б, г, е):

• а) $x \geqslant 5$ — самое слабое.
• б) и г) $x \geqslant 7$ — сильнее, чем а).
• е) $\sqrt{x — 5} + \sqrt{x — 7} \geqslant \sqrt{2}$ — самое сильное, так как оно не просто ограничивает $x$, а даёт оценку на само выражение.

Ответ:

Верные следствия: а, б, г, е.

Самое сильное следствие: е.

Вопрос 6. Решение неравенства $\sqrt{x — 5} + \sqrt{x — 7} > 1$.

Как с помощью списка следствий, сделанных в предыдущей задаче, решить неравенство…

1. Область определения: $x — 7 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 7$.
2. Анализ функции: Пусть $f(x) = \sqrt{x — 5} + \sqrt{x — 7}$. Функция возрастает на всей области определения, так как оба слагаемых возрастают.
3. Проверка граничной точки: Подставим $x = 7$: $f(7) = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$.
4. Сравнение: Так как $\sqrt{2} \approx 1,41 > 1$, то неравенство $f(x) > 1$ выполняется для всех $x$ из области определения.
5. Ответ: $x \geqslant 7$.

Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

Задача 18. Логическая задача про погоду.

[8, 5.13] На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик верно ответил:
(1) «если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»;
(2) «если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»;
(3) «если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра».
Определите погоду на завтра.

Введём обозначения:

• V — будет ветер.
• $P$ — будет пасмурно.
• D — будет дождь.

Запишем высказывания в виде логических формул:

1. «Если не будет ветра, то будет пасмурно и без дождя»: $\neg V \Rightarrow (P \land \neg D)$.
2. «Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»: $D \Rightarrow (P \land \neg V)$.
3. «Если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра»: $P \Rightarrow (D \land \neg V)$.

Анализ:

Рассмотрим третье утверждение $P \Rightarrow (D \land \neg V)$.

• Если $P$ истинно (пасмурно), то обязательно D (дождь) и $\neg V$ (нет ветра).
• Подставим это во второе утверждение $D \Rightarrow (P \land \neg V)$. Если D истинно, то $P$ должно быть истинно. Это согласуется с выводом из пункта 1.
• Теперь проверим первое утверждение $\neg V \Rightarrow (P \land \neg D)$.
• Если $P$ истинно, то из $P \Rightarrow (D \land \neg V)$ следует, что D истинно и V ложно ($\neg V$ истинно).
• Но если D истинно, то в первом утверждении в правой части стоит $\neg D$ (без дождя). Получается противоречие: $\neg V$ истинно, но $P \land \neg D$ ложно (так как D истинно).
• Значит, наше предположение о том, что $P$ истинно, неверно.

Вывод: $P$ ложно (не будет пасмурно).

• Если $P$ ложно, то из $P \Rightarrow (D \land \neg V)$ следует, что это утверждение истинно (из лжи следует что угодно).
• Из $D \Rightarrow (P \land \neg V)$: если бы D было истинно, то $P$ должно было бы быть истинно. Но $P$ ложно, значит D ложно (не будет дождя).
• Из $\neg V \Rightarrow (P \land \neg D)$: мы знаем, что $P$ ложно и D ложно, значит $P \land \neg D$ ложно. Чтобы импликация была истинной, посылка $\neg V$ должна быть ложной.
• Если $\neg V$ ложно, то V истинно (будет ветер).

Проверка:

• Будет ветер (V), не будет пасмурно ($\neg P$), не будет дождя ($\neg D$).

1. $\neg V \Rightarrow (P \land \neg D)$: $\text{Ложь} \Rightarrow \text{Ложь}$ — истина.
2. $D \Rightarrow (P \land \neg V)$: $\text{Ложь} \Rightarrow \text{Ложь}$ — истина.
3. $P \Rightarrow (D \land \neg V)$: $\text{Ложь} \Rightarrow \text{Ложь}$ — истина.

Все условия выполнены.

Ответ: Завтра будет ветреная, ясная и сухая погода (будет ветер, не будет пасмурно, не будет дождя).

---

 

Список литературы:

[1] С.А. Шестаков, И.В. Ященко. Математика. Многоуровневый сборник задач. 7–9 классы. Часть 1. Алгебра. Москва. Просвещение. 2020.
[2] И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями. 2-е издание. Москва. Бином. 2004.
[3] Блинков А.Д. «Учимся на чужих ошибках». МЦНМО. 2019.
[4] И.М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. МЦНМО. 4-е изд. 2017. https://www.mccme.ru/ free-books/shen/gelfand-shen-algebra.pdf
[5] Алфутова Н.Б., Устинов А. В. «Алгебра и теория чисел». МЦНМО. 2002. https:// www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
[6] Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии» http://zadachi.mccme. ru/
[7] М.А. Волчкевич. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы. МЦНМО, 2016.
[8] И.В. Раскина. Логика для всех. От пиратов до мудрецов. МЦНМО. 2016.
[9] Александр Шень (под ред.). Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам мате-
матического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс В) (c1). М.: МЦНМО, 2000, 272 с. https://www.mccme.ru/free-books/57/shen .pdf

 

---

Вы смотрели: Математическая вертикаль Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях. Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 3.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника