Частная школа. 9 класс

Математическая вертикаль: Повторение за 7-8 классы. 4) Алгебраические дроби. Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 4.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

Этот материал составлен для повторения программы 7 и 8 классов и полноценного освоения курса 9 класса. Кроме того, можно использовать задачник [1].

ПОВТОРЕНИЕ: 4. Алгебраические дроби

Вспомним основные действия с алгебраическими дробями

Задача 19. Упростите выражения в правой части равенств из строк 3–7 таблицы.

Строка 3 (сложение дробей):

Исходное выражение:

$$

\frac{(x + y)(x — y) + y(2x + y)}{(x — y)(2x + y)}

$$

1. Раскроем числитель:

$(x + y)(x — y) = x^2 — y^2$ (разность квадратов).

$y(2x + y) = 2xy + y^2$.

1. Сложим:

$x^2 — y^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2xy$.

1. Упростим числитель:

$x^2 + 2xy = x(x + 2y)$.

1. Запишем дробь:

$\frac{x(x + 2y)}{(x — y)(2x + y)}$.

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{x(x + 2y)}{(x — y)(2x + y)}$.

Строка 4 (вычитание дробей):

Исходное выражение:

$$

\frac{(x + y)(x — y) — y(2x + y)}{(x — y)(2x + y)}

$$

1. Раскроем числитель:

$(x + y)(x — y) = x^2 — y^2$.

$y(2x + y) = 2xy + y^2$.

1. Вычтем:

$x^2 — y^2 — (2xy + y^2) = x^2 — y^2 — 2xy — y^2 = x^2 — 2xy — 2y^2$.

1. Запишем дробь:

$\frac{x^2 — 2xy — 2y^2}{(x — y)(2x + y)}$.

Числитель не раскладывается на множители, упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{x^2 — 2xy — 2y^2}{(x — y)(2x + y)}$.

Строка 5 (представление дроби в виде суммы):

Исходное выражение:

$$

\frac{8n + 32}{n + 4} + \frac{-27}{n + 4}

$$

1. Заметим, что $8n + 32 = 8(n + 4)$.
2. Упростим первую дробь:

$\frac{8(n + 4)}{n + 4} = 8$ (при $n \neq -4$).

1. Вторая дробь: $\frac{-27}{n + 4}$.
2. Сумма: $8 — \frac{27}{n + 4}$.

Ответ: $8 — \frac{27}{n + 4}$.

Строка 6 (умножение дробей):

Исходное выражение:

$$

\frac{(a^2 — b^2)(a^2 + a)}{(ab + b)(a + b)}

$$

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$,

$a^2 + a = a(a + 1)$,

$ab + b = b(a + 1)$.

1. Подставим:

$\frac{(a — b)(a + b) \cdot a(a + 1)}{b(a + 1) \cdot (a + b)}$.

1. Сократим $(a + b)$ и $(a + 1)$ (при $a \neq -1$, $a \neq -b$):

$\frac{a(a — b)}{b}$.

Ответ: $\frac{a(a — b)}{b}$.

Строка 7 (деление дробей):

Исходное выражение:

$$

\frac{(4p^2 — 4p + 1)(p^2 + pq)}{(p + q)(2pq — q)}

$$

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$4p^2 — 4p + 1 = (2p — 1)^2$,

$p^2 + pq = p(p + q)$,

$2pq — q = q(2p — 1)$.

1. Подставим:

$\frac{(2p — 1)^2 \cdot p(p + q)}{(p + q) \cdot q(2p — 1)}$.

1. Сократим $(p + q)$ и $(2p — 1)$ (при $p \neq -q$, $p \neq \frac{1}{2}$):

$\frac{(2p — 1) \cdot p}{q} = \frac{p(2p — 1)}{q}$.

Ответ: $\frac{p(2p — 1)}{q}$.

 

Задача 20. Докажите, что равенства в первой, второй и последней строках таблицы имеют разную область определения левой и правой частей, в отличие от равенств в остальных строках.

Строка 1 (домножение на множитель):

• Левая часть: $\frac{y}{x — y}$. ОДЗ: $x — y \neq 0 \Rightarrow x \neq y$.
• Правая часть: $\frac{y(2x + y)}{(x — y)(2x + y)}$. ОДЗ: $x \neq y$ и $2x + y \neq 0$.
• Вывод: Правая часть имеет дополнительное ограничение $2x + y \neq 0$, значит, ОДЗ разные.

Строка 2 (сокращение дроби):

• Левая часть: $\frac{(x + y)(x — y)}{(2x + y)(x — y)}$. ОДЗ: $x \neq y$ и $2x + y \neq 0$.
• Правая часть: $\frac{x + y}{2x + y}$. ОДЗ: $2x + y \neq 0$.
• Вывод: Левая часть имеет дополнительное ограничение $x \neq y$, значит, ОДЗ разные.

Строка 7 (деление дробей):

• Левая часть: $\frac{4p^2 — 4p + 1}{p + q} : \frac{2pq — q}{p^2 + pq}$.

ОДЗ: $p + q \neq 0$, $2pq — q \neq 0$, $p^2 + pq \neq 0$.

Упростим условия:

$p \neq -q$, $q(2p — 1) \neq 0 \Rightarrow q \neq 0$ и $p \neq \frac{1}{2}$,

$p(p + q) \neq 0 \Rightarrow p \neq 0$ и $p \neq -q$.

Итого: $p \neq 0$, $p \neq -q$, $q \neq 0$, $p \neq \frac{1}{2}$.

• Правая часть: $\frac{(4p^2 — 4p + 1)(p^2 + pq)}{(p + q)(2pq — q)}$.

После упрощения: $\frac{p(2p — 1)}{q}$. ОДЗ: $q \neq 0$.

• Вывод: Левая часть имеет больше ограничений, значит, ОДЗ разные.

Строки 3, 4, 5, 6 (остальные случаи):

• В этих операциях (сложение, вычитание, представление в виде суммы, умножение) преобразования не вводят новых ограничений и не убирают старые.
• Например, в сложении/вычитании знаменатель остаётся тем же, в умножении/представлении в виде суммы ограничения сохраняются.
• Вывод: ОДЗ левой и правой частей совпадают.

Ответ: В строках 1, 2 и 7 ОДЗ левой и правой частей различаются из-за появления или исчезновения ограничений. В строках 3–6 ОДЗ совпадают.

 

Задача 21. Выясните, при каких значениях переменных справедливо равенство

а) $\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^2 — 1}$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю.

$x — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$;

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$;

$x^2 — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$.

Итого: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

1. Преобразуем левую часть:

$\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) — (x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{x + 1 — x + 1}{x^2 — 1} = \frac{2}{x^2 — 1}$.

1. Левая часть равна правой при всех $x$, кроме $x = \pm 1$.

Ответ: равенство справедливо при всех $x$, кроме $x = 1$ и $x = -1$.

б) $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = 4$

1. ОДЗ: $x \neq 0$.
2. Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности:

$\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) — \left(x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) — (x^2 — 2 + \frac{1}{x^2})$.

1. Упростим:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} — x^2 + 2 — \frac{1}{x^2} = 4$.

1. Получили $4 = 4$, что верно при всех $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: равенство справедливо при всех $x \neq 0$.

в) $\frac{x^2 — 3x + 2}{x^2 — 5x + 6} : \frac{x^2 — 5x + 4}{x^2 — 7x + 12} = 1$

1. Разложим числители и знаменатели на множители:

$x^2 — 3x + 2 = (x — 1)(x — 2)$;

$x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)$;

$x^2 — 5x + 4 = (x — 1)(x — 4)$;

$x^2 — 7x + 12 = (x — 3)(x — 4)$.

1. Перепишем выражение с учётом деления как умножения на обратную дробь:

$\frac{(x — 1)(x — 2)}{(x — 2)(x — 3)} \cdot \frac{(x — 3)(x — 4)}{(x — 1)(x — 4)} = 1$.

1. Сократим одинаковые множители (при условии, что они не равны нулю):

$\frac{x — 1}{x — 3} \cdot \frac{x — 3}{x — 1} = 1 \Rightarrow 1 = 1$.

1. Найдём ОДЗ:

$x \neq 2, 3, 1, 4$.

1. Равенство верно при всех $x$, кроме указанных значений.

Ответ: равенство справедливо при всех $x$, кроме $x = 1, 2, 3, 4$.

г) $\frac{8x^2 + 8xy}{x + y} — \frac{16x^2 — 8xy — 1}{2x — y} = \frac{1}{2x — y}$

1. ОДЗ: $x + y \neq 0 \Rightarrow x \neq -y$; $2x — y \neq 0 \Rightarrow y \neq 2x$.
2. Упростим первую дробь:

$\frac{8x^2 + 8xy}{x + y} = \frac{8x(x + y)}{x + y} = 8x$ (при $x + y \neq 0$).

1. Подставим в уравнение:

$8x — \frac{16x^2 — 8xy — 1}{2x — y} = \frac{1}{2x — y}$.

1. Перенесём все члены в одну сторону:

$8x = \frac{16x^2 — 8xy — 1}{2x — y} + \frac{1}{2x — y} = \frac{16x^2 — 8xy}{2x — y}$.

1. Упростим правую часть:

$\frac{16x^2 — 8xy}{2x — y} = \frac{8x(2x — y)}{2x — y} = 8x$ (при $2x — y \neq 0$).

1. Получили $8x = 8x$, что верно при всех $x, y$, удовлетворяющих ОДЗ.

Ответ: равенство справедливо при всех $x, y$, таких что $x \neq -y$ и $y \neq 2x$.

---

 

Список литературы:

[1] С.А. Шестаков, И.В. Ященко. Математика. Многоуровневый сборник задач. 7–9 классы. Часть 1. Алгебра. Москва. Просвещение. 2020.
[2] И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями. 2-е издание. Москва. Бином. 2004.
[3] Блинков А.Д. «Учимся на чужих ошибках». МЦНМО. 2019.
[4] И.М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. МЦНМО. 4-е изд. 2017. https://www.mccme.ru/ free-books/shen/gelfand-shen-algebra.pdf
[5] Алфутова Н.Б., Устинов А. В. «Алгебра и теория чисел». МЦНМО. 2002. https:// www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
[6] Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии» http://zadachi.mccme. ru/
[7] М.А. Волчкевич. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы. МЦНМО, 2016.
[8] И.В. Раскина. Логика для всех. От пиратов до мудрецов. МЦНМО. 2016.
[9] Александр Шень (под ред.). Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам мате-
матического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс В) (c1). М.: МЦНМО, 2000, 272 с. https://www.mccme.ru/free-books/57/shen .pdf

 

---

Вы смотрели: Математическая вертикаль Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях. Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 4.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника