Частная школа. 9 класс

Математическая вертикаль: Повторение за 7-8 классы. 5) Модуль. Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 5.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

Этот материал составлен для повторения программы 7 и 8 классов и полноценного освоения курса 9 класса. Кроме того, можно использовать задачник [1].

ПОВТОРЕНИЕ: 5. Модуль

Задача 22. Вычислите

а) $|-9|$

Модуль числа — это его абсолютная величина.

$|-9| = 9$.

Ответ: 9.

б) $|-1| + |0| + |1|$

$|-1| = 1$, $|0| = 0$, $|1| = 1$.

$1 + 0 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

в) $|5| — |-5|$

$|5| = 5$, $|-5| = 5$.

$5 — 5 = 0$.

Ответ: 0.

г) $|\sqrt{19} — 5|$

Оценим $\sqrt{19}$: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, значит $\sqrt{19} < 5$.

Тогда $\sqrt{19} — 5 < 0$, и модуль равен противоположному числу:

$|\sqrt{19} — 5| = 5 — \sqrt{19}$.

Ответ: $5 — \sqrt{19}$.

д) $|3,89 — \sqrt{3,1}| + |0,89 — \sqrt{3,1}|$

Оценим $\sqrt{3,1}$: $1,7^2 = 2,89$, $1,8^2 = 3,24$, значит $\sqrt{3,1} \approx 1,76$.

Тогда:

$3,89 — \sqrt{3,1} > 0$, значит $|3,89 — \sqrt{3,1}| = 3,89 — \sqrt{3,1}$.

$0,89 — \sqrt{3,1} < 0$, значит $|0,89 — \sqrt{3,1}| = \sqrt{3,1} — 0,89$.

Сложим: $(3,89 — \sqrt{3,1}) + (\sqrt{3,1} — 0,89) = 3,89 — 0,89 = 3$.

Ответ: 3.

Задача 23. Выясните, при каких значениях переменных выполняются равенства

а) $|x| = x$

По определению модуля, $|x| = x$ при $x \geqslant 0$.

Ответ: при $x \geqslant 0$.

б) $|x| = -x$

По определению модуля, $|x| = -x$ при $x \leqslant 0$.

Ответ: при $x \leqslant 0$.

в) $|x — 2| = x — 2$

Это равенство выполняется, когда выражение под модулем неотрицательно:

$x — 2 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 2$.

Ответ: при $x \geqslant 2$.

г) $|x — y| = |y — x|$

Это верно всегда, так как $|a| = |-a|$.

Ответ: при любых $x, y$.

д) $|x — y| = y — x$

Это равенство выполняется, когда $x — y \leqslant 0$, то есть $x \leqslant y$.

Ответ: при $x \leqslant y$.

е) $|xy| = |x| \cdot |y|$

Это свойство модуля, которое верно для любых действительных чисел.

Ответ: при любых $x, y$.

Замечание 3.

Вычислить модуль числа легко: достаточно убрать знак «минус», если он есть. Например, \(|-7| = 7\). А если «минуса» нет, то и делать ничего не нужно! Однако трудности могут возникнуть, когда под модулем стоит не число, а выражение — числовое или, того хуже, буквенное. Часто мы не знаем, отрицательно или положительно значение выражения. И тогда неясно, что указывает нам модуль: «откинуть минус» или, наоборот, не менять стоящее под ним выражение. Вот что можно предпринять в такой ситуации:

• воспользоваться геометрической интерпретацией и рассмотреть модуль как расстояние между точками на координатной прямой;
• сравнить с нулём выражение, стоящее под модулем (это всегда можно сделать, если выражение числовое, но и у буквенного выражения знак иногда можно определить однозначно);
• раскрыть модуль, рассмотрев случаи разного знака стоящего под ним выражения;
• использовать равносильный переход

\(|x| = a \;\Leftrightarrow\; x = \pm a \; (a \geq 0);\)

Пример 7.

Решить уравнение

\(|x — 8| = 5.\)

Решение.

Способ 1. Отметим на числовой прямой точки с координатой 8 и с координатой \(x\). Тогда \(x — 8\) — это разность этих координат, а \(|x — 8| = 5\) — длина отрезка между отмеченными точками. Итак, условие \(|x — 8| = 5\) равносильно утверждению: расстояние от точки \(x\) до точки 8 равно 5. Таких точек две — слева и справа от точки 8.

Способ 2. В данном случае легко обойтись и без геометрической интерпретации. Существует только два числа с модулем 5: это 5 и \(-5\). Рассмотрим оба случая:

\(|x — 8| = 5 \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x — 8 = 5, \\ x — 8 = -5 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = 13, \\ x = 3. \end{cases}\)

Ответ:

\(3;\; 13\)

Пример 8.

Решить неравенство

\(|x + 3| \leq 7.\)

Решение.

Поскольку

\(|x + 3| = |x — (-3)|,\)

данное неравенство равносильно условию, что расстояние на числовой прямой между точками \(x\) и \(-3\) не превосходит 7. Значит, \(x\) должен быть не больше, чем \(-3 + 7 = 4\), и не меньше, чем \(-3 — 7 = -10\).

Ответ:

\(-10 \leq x \leq 4.\)

Пример 9.

Решить уравнение

\(|x — 5| — |x + 1| = 2.\)

Решение. Представим себе координатную прямую с отмеченными на ней точками \(-1\), \(5\), \(x\).

Тогда \(|x — 5|\) и \(|x + 1|\) будут равны расстояниям от точки \(x\) до точек \(5\) и \(-1\) соответственно. Значит, нам требуется найти все такие точки координатной прямой, что расстояние от них до точки \(5\) на \(2\) больше, чем до точки \(-1\).

Заметим, что длина отрезка с концами \(-1\) и \(5\) равна \(6\). Поэтому справа и слева от этого отрезка разность расстояний до его концов будет равна \(6\), а не \(2\), как нам нужно. Значит, искомая точка может находиться только внутри отрезка.

Две части отрезка длины \(6\), отличающиеся на \(2\), — это \(4\) и \(2\). Значит, точка находится на расстоянии \(4\) от \(5\) и на расстоянии \(2\) от \(-1\), то есть это точка \(1\).

Ответ. \(1\).

Пример 10.

Известно, что \(x \geq 4\). Найдите значение выражения

\(|x^2 — 2x + 2| + |8 — 2x| — x^2.\)

Решение. Попробуем определить знаки выражений, стоящих под модулем.

В первом подмодульном выражении выделим полный квадрат:

\(x^2 — 2x + 2 = (x — 1)^2 + 1,\)

откуда ясно, что \(x^2 — 2x + 2 > 0\) при всех значениях \(x\)! Значит, всегда верно равенство:

\(|x^2 — 2x + 2| = x^2 — 2x + 2.\)

Оценим второе подмодульное выражение. По условию \(x \geq 4\), значит, \(2x \geq 8\) и \(2x — 8 \geq 0 \;\Rightarrow\; 8 — 2x \leq 0\). Значит,

\(|8 — 2x| = -(8 — 2x) = 2x — 8.\)

Итак, при \(x \geq 4\) получаем:

\(|x^2 — 2x + 2| + |8 — 2x| — x^2 = (x^2 — 2x + 2) + (2x — 8) — x^2 = -6.\)

Ответ. \(-6\).

Задача 24

Геометрический смысл модуля: $|x — a|$ — это расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой.

а) $|x — 34| = 9$

1. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от 34 на расстояние 9.
2. Решение: $x = 34 + 9 = 43$ или $x = 34 — 9 = 25$.
3. Ответ: $x = 25$; $x = 43$.

б) $|x — 8,5| = 2,5$

4. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от $8,5$ на расстояние $2,5$.
5. Решение: $x = 8,5 + 2,5 = 11$ или $x = 8,5 — 2,5 = 6$.
6. Ответ: $x = 6$; $x = 11$.

в) $|x + 9| = 0$

7. Геометрический смысл: найти точку $x$, расстояние от которой до -9 равно 0.
8. Решение: $x = -9$.
9. Ответ: $x = -9$.

г) $|x + 17| = 8$

10. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от -17 на расстояние 8.
11. Решение: $x = -17 + 8 = -9$ или $x = -17 — 8 = -25$.
12. Ответ: $x = -25$; $x = -9$.

д) $|x + 1,5| = 13,5$

13. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от $-1,5$ на расстояние $13,5$.
14. Решение: $x = -1,5 + 13,5 = 12$ или $x = -1,5 — 13,5 = -15$.
15. Ответ: $x = -15$; $x = 12$.

е) $|x — 1| + |x — 5| = 3$

16. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 1 и до 5 равна 3.
17. Анализ: расстояние между 1 и 5 равно 4. Сумма расстояний от любой точки отрезка $[1; 5]$ до его концов равна 4. Вне отрезка сумма больше 4. Значит, решений нет, так как $3 < 4$.
18. Ответ: решений нет.

ж) $|x — 1| + |x — 5| = 4$

19. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 1 и до 5 равна 4.
20. Анализ: расстояние между 1 и 5 равно 4. Сумма расстояний равна 4 для всех точек отрезка $[1; 5]$.
21. Ответ: $x \in [1; 5]$.

з) $|x — 1| = |x — 5| + 2$

22. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до 1 на 2 больше, чем расстояние до 5.
23. Решение: рассмотрим случаи:

• Если $x \leqslant 1$: $1 — x = 5 — x + 2 \Rightarrow 1 = 7$ — неверно.
• Если $1 < x < 5$: $x — 1 = 5 — x + 2 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$. Проверим: $|4 — 1| = 3$, $|4 — 5| + 2 = 1 + 2 = 3$ — верно.
• Если $x \geqslant 5$: $x — 1 = x — 5 + 2 \Rightarrow -1 = -3$ — неверно.

1. Ответ: $x = 4$.

и) $|x — 1| + |x — 5| = 10$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 1 и до 5 равна 10.
3. Решение:

• Если $x \leqslant 1$: $1 — x + 5 — x = 10 \Rightarrow 6 — 2x = 10 \Rightarrow x = -2$.
• Если $1 < x < 5$: $x — 1 + 5 — x = 4 = 10$ — неверно.
• Если $x \geqslant 5$: $x — 1 + x — 5 = 10 \Rightarrow 2x — 6 = 10 \Rightarrow x = 8$.

1. Ответ: $x = -2$; $x = 8$.

к) $|x + 2| + |x + 12| = 16$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до -2 и до -12 равна 16.
3. Решение:

• Если $x \leqslant -12$: $-x — 2 — x — 12 = 16 \Rightarrow -2x — 14 = 16 \Rightarrow x = -15$.
• Если $-12 < x < -2$: $-x — 2 + x + 12 = 10 = 16$ — неверно.
• Если $x \geqslant -2$: $x + 2 + x + 12 = 16 \Rightarrow 2x + 14 = 16 \Rightarrow x = 1$.

1. Ответ: $x = -15$; $x = 1$.

л) $|x — 4| = |x — 24|$

2. Геометрический смысл: найти точку $x$, равноудалённую от 4 и 24.
3. Решение: $x$ — середина отрезка $[4; 24]$, $x = \frac{4 + 24}{2} = 14$.
4. Ответ: $x = 14$.

м) $|x — 1| = 2|x — 9|$

5. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до 1 в 2 раза больше, чем расстояние до 9.
6. Решение: рассмотрим случаи:

• Если $x \leqslant 1$: $1 — x = 2(9 — x) \Rightarrow 1 — x = 18 — 2x \Rightarrow x = 17$ — не подходит.
• Если $1 < x < 9$: $x — 1 = 2(9 — x) \Rightarrow x — 1 = 18 — 2x \Rightarrow 3x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{3}$.
• Если $x \geqslant 9$: $x — 1 = 2(x — 9) \Rightarrow x — 1 = 2x — 18 \Rightarrow x = 17$.

1. Ответ: $x = \frac{19}{3}$; $x = 17$.

н) $|x + 5| = |x — 11|$

2. Геометрический смысл: найти точку $x$, равноудалённую от -5 и 11.
3. Решение: $x = \frac{-5 + 11}{2} = 3$.
4. Ответ: $x = 3$.

о) $3|x + 5| = |x — 11|$

5. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до -5, умноженное на 3, равно расстоянию до 11.
6. Решение: рассмотрим случаи:

• Если $x \leqslant -5$: $3(-x — 5) = 11 — x \Rightarrow -3x — 15 = 11 — x \Rightarrow -2x = 26 \Rightarrow x = -13$.
• Если $-5 < x < 11$: $3(x + 5) = 11 — x \Rightarrow 3x + 15 = 11 — x \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1$.
• Если $x \geqslant 11$: $3(x + 5) = x — 11 \Rightarrow 3x + 15 = x — 11 \Rightarrow 2x = -26 \Rightarrow x = -13$ — не подходит.

1. Ответ: $x = -13$; $x = -1$.

п) $|x + 5| = 7|x — 11|$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до -5 в 7 раз больше, чем расстояние до 11.
3. Решение: рассмотрим случаи:

• Если $x \leqslant -5$: $-x — 5 = 7(11 — x) \Rightarrow -x — 5 = 77 — 7x \Rightarrow 6x = 82 \Rightarrow x = \frac{41}{3}$ — не подходит.
• Если $-5 < x < 11$: $x + 5 = 7(11 — x) \Rightarrow x + 5 = 77 — 7x \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9$.
• Если $x \geqslant 11$: $x + 5 = 7(x — 11) \Rightarrow x + 5 = 7x — 77 \Rightarrow -6x = -82 \Rightarrow x = \frac{41}{3}$.

1. Ответ: $x = 9$; $x = \frac{41}{3}$.

Задача 25

а) $|x — 9| < 7$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от 9 на расстояние меньше 7.
3. Решение: $9 — 7 < x < 9 + 7 \Rightarrow 2 < x < 16$.
4. Ответ: $x \in (2; 16)$.

б) $|x — 2,5| > 4,5$

5. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от $2,5$ на расстояние больше $4,5$.
6. Решение: $x < 2,5 — 4,5$ или $x > 2,5 + 4,5 \Rightarrow x < -2$ или $x > 7$.
7. Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (7; +\infty)$.

в) $|x + 17| \geqslant 8$

8. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от -17 на расстояние не меньше 8.
9. Решение: $x \leqslant -17 — 8$ или $x \geqslant -17 + 8 \Rightarrow x \leqslant -25$ или $x \geqslant -9$.
10. Ответ: $x \in (-\infty; -25] \cup [-9; +\infty)$.

г) $|-4 — x| \leqslant 6$

11. Геометрический смысл: найти точки $x$, удалённые от -4 на расстояние не больше 6.
12. Решение: $-4 — 6 \leqslant x \leqslant -4 + 6 \Rightarrow -10 \leqslant x \leqslant 2$.
13. Ответ: $x \in [-10; 2]$.

д) $|x — 2| \geqslant |x — 7|$

14. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до 2 не меньше, чем до 7.
15. Решение: середина отрезка $[2; 7]$ — $4,5$. Точки левее или равные $4,5$ ближе к 2.
16. Ответ: $x \leqslant 4,5$.

е) $|x + 1| < |x + 4|$

17. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до -1 меньше, чем до -4.
18. Решение: середина отрезка $[-4; -1]$ — $-2,5$. Точки правее $-2,5$ ближе к -1.
19. Ответ: $x > -2,5$.

ж) $|x — 2| \leqslant |x — 7| + 1$

20. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до 2 не больше, чем расстояние до 7 плюс 1.
21. Решение: рассмотрим случаи:

• Если $x \leqslant 2$: $2 — x \leqslant 7 — x + 1 \Rightarrow 2 \leqslant 8$ — верно.
• Если $2 < x < 7$: $x — 2 \leqslant 7 — x + 1 \Rightarrow 2x \leqslant 10 \Rightarrow x \leqslant 5$.
• Если $x \geqslant 7$: $x — 2 \leqslant x — 7 + 1 \Rightarrow -2 \leqslant -6$ — неверно.

1. Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

з) $|x — 1| \leqslant |x + 4|$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, расстояние от которых до 1 не больше, чем до -4.
3. Решение: середина отрезка $[-4; 1]$ — $-1,5$. Точки правее или равные $-1,5$ ближе к 1.
4. Ответ: $x \geqslant -1,5$.

и) $|x — 2| + |x — 7| < 5$

5. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 2 и до 7 меньше 5.
6. Анализ: расстояние между 2 и 7 равно 5. Сумма расстояний равна 5 для всех точек отрезка $[2; 7]$. Вне отрезка сумма больше 5. Значит, решений нет.
7. Ответ: решений нет.

к) $|x — 2| + |x — 7| < 7$

8. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 2 и до 7 меньше 7.
9. Решение:

• Если $x \leqslant 2$: $2 — x + 7 — x < 7 \Rightarrow 9 — 2x < 7 \Rightarrow x > 1$.
• Если $2 < x < 7$: $x — 2 + 7 — x = 5 < 7$ — верно.
• Если $x \geqslant 7$: $x — 2 + x — 7 < 7 \Rightarrow 2x — 9 < 7 \Rightarrow x < 8$.

1. Ответ: $x \in (1; 8)$.

л) $|x — 2| + |x — 7| \geqslant 7$

2. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 2 и до 7 не меньше 7.
3. Решение: из предыдущего пункта сумма меньше 7 на $(1; 8)$. Значит, $\geqslant 7$ вне этого интервала.
4. Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [8; +\infty)$.

м) $|x — 3| + |x + 7| \leqslant 8$

5. Геометрический смысл: найти точки $x$, сумма расстояний от которых до 3 и до -7 не больше 8.
6. Решение: расстояние между -7 и 3 равно 10. Сумма расстояний равна 10 для всех точек отрезка $[-7; 3]$. Вне отрезка сумма больше 10. Значит, решений нет.
7. Ответ: решений нет.

 

---

 

Список литературы:

[1] С.А. Шестаков, И.В. Ященко. Математика. Многоуровневый сборник задач. 7–9 классы. Часть 1. Алгебра. Москва. Просвещение. 2020.
[2] И.Н. Сергеев. Математика. Задачи с ответами и решениями. 2-е издание. Москва. Бином. 2004.
[3] Блинков А.Д. «Учимся на чужих ошибках». МЦНМО. 2019.
[4] И.М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. МЦНМО. 4-е изд. 2017. https://www.mccme.ru/ free-books/shen/gelfand-shen-algebra.pdf
[5] Алфутова Н.Б., Устинов А. В. «Алгебра и теория чисел». МЦНМО. 2002. https:// www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
[6] Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии» http://zadachi.mccme. ru/
[7] М.А. Волчкевич. Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы. МЦНМО, 2016.
[8] И.В. Раскина. Логика для всех. От пиратов до мудрецов. МЦНМО. 2016.
[9] Александр Шень (под ред.). Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам мате-
матического класса 57 школы (выпуск 2000 года, класс В) (c1). М.: МЦНМО, 2000, 272 с. https://www.mccme.ru/free-books/57/shen .pdf

 

---

Вы смотрели: Математическая вертикаль Учебник по алгебре для 9 класса УМК Ященко (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях. Код материалов: Вертикаль Алгебра Повторение 5.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника