Читать онлайн: Учебник вероятность и статистика 9 класс Базовый уровень, авторы: Высоцкий Ященко. Глава XIV. Элементы комбинаторики: Комбинаторное правило умножения. Перестановки. Факториал. Число сочетаний и треугольник Паскаля. Ознакомительный фрагмент и цитаты использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Вероятность и Статистика Глава 14.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 9 класс
Глава XIV. Элементы комбинаторики
Часто приходится иметь дело с комбинациями, составленными из фигур, чисел, событий или предметов. Предметов может быть много, но комбинаций из них несравнимо больше. Их бывает так много, что невозможно упорядочить или пересчитать их непосредственно.
Перечислением и подсчётом комбинаций элементов разных множеств занимается специальный раздел математики — комбинаторика. В теории вероятностей комбинаторика применяется, когда событий в случайном опыте очень много и их невозможно выписать или даже просто перечислить без специальных методов.
Имея дело с большим количеством чисел, фигур, событий или просто предметов, часто приходится составлять из них различные комбинации, которые составляют новое множество.
Эти комбинации трудно упорядочивать или пересчитывать непосредственно — их очень много. Нужно научиться перечислять комбинации так, чтобы не запутаться, не забыть ни одной и не посчитать одну и ту же дважды.
Методы перечисления и упорядочивания множеств, составленных из чисел, фигур или предметов, изучаются в специальном разделе математики, который называется комбинаторика. Типичной задачей комбинаторики является перечисление комбинаций, составленных из нескольких предметов.
В теории вероятностей комбинаторика применяется тогда, когда случайный опыт обширный и количество событий в нём настолько велико, что их невозможно выписать или даже просто перечислить без применения специальных методов.
59. Комбинаторное правило умножения.
Вопросы (стр. 51)
№ 1. Сформулируйте комбинаторное правило умножения для подсчёта числа комбинаций предметов двух множеств.
ОТВЕТ: Комбинаторное правило умножения (для двух множеств) гласит:
> Если объект A можно выбрать m способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пару объектов (A, B) в указанном порядке можно выбрать m × n способами.
Простая интерпретация: Если одно действие можно выполнить m способами, а другое, независимое от первого, — n способами, то общее количество способов выполнить последовательно оба действия равно произведению m • n.
Пример: У Анны есть 3 блузки и 4 юбки. Сколькими способами она может составить комплект из одной блузки и одной юбки?
* Выбор блузки: m = 3 способа.
* Выбор юбки: n = 4 способа.
* Общее число комплектов: 3 × 4 = 12.
№ 2. Сформулируйте комбинаторное правило умножения для нескольких множеств.
ОТВЕТ: Комбинаторное правило умножения (общий случай для нескольких множеств) гласит:
> Если объект A_1 можно выбрать n_1 способами, объект A_2 — n_2 способами, и так далее, до объекта A_k , который можно выбрать n_k способами, то кортеж объектов (A_1, A_2, … , A_k) в указанном порядке можно выбрать n_1 × n_2 × … × n_k способами.
Простая интерпретация: Если процесс принятия решения состоит из k последовательных независимых этапов, на первом из которых есть n_1 вариантов выбора, на втором n_2 , … , на k-м — n_k , то все процесс в целом можно осуществить n_1 • n_2 •… • n_k способами.
Пример: Сколько существует различных пятизначных PIN─кодов?
* Выбор первой цифры: n_1 = 10 способов (цифры от 0 до 9).
* Выбор второй цифры: n_2 = 10 способов.
* Выбор третьей цифры: n_3 = 10 способов.
* Выбор четвертой цифры: n_4 = 10 способов.
* Выбор пятой цифры: n_5 = 10 способов.
* Общее число PIN─кодов: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10^5 = 100 000.
Задачи (стр. 51–52)
60. Перестановки. Факториал.
Вопросы (стр. 53)
№ 1. Что такое перестановка?
ОТВЕТ: Перестановка — это любое упорядоченное расположение (то есть последовательность или порядок) всех элементов некоторого множества.
Ключевая характеристика: Порядок имеет значение. Например, для множества {A, B, C} последовательности (A, B, C), (A, C, B) и (B, A, C) являются разными перестановками, даже если состав элементов одинаков.
Пример: Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги? Каждый способ расстановки — это и есть перестановка этих книг. Для 3 книг существует 6 различных перестановок.
№ 2. Что такое факториал натурального числа?
ОТВЕТ: Факториал натурального числа n (обозначается n!) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа n. Формула: n! = 1 • 2 • 3 •… • (n─1) • n
Примеры:
1! = 1
3! = 1 • 2 • 3 = 6
5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
№ 3. Чему равно число различных перестановок из л предметов?
ОТВЕТ: Число различных перестановок из n различных предметов вычисляется по формуле: P_n = n!
Объяснение: На первое место в последовательности можно поставить любой из n предметов (n способов). После этого на второе место — любой из оставшихся (n─1) предметов (n─1 способ). На третье — (n─2) способа, и так далее. По правилу умножения общее число способов (перестановок) равно n • (n─1) • (n─2) •… • 2 • 1 = n!.
Пример: Для 4 предметов число перестановок равно P_4 = 4! = 24.
№ 4. Чему равен факториал нуля?
ОТВЕТ: Факториал нуля равен единице: 0! = 1.
Это соглашение принято по нескольким важным причинам, главная из которых — обеспечение согласованности формул комбинаторики. Например:
Задачи (стр. 53–55)
61. Число сочетаний и треугольник Паскаля.
Вопросы (стр. 57)
№ 1. Что такое число сочетаний?
ОТВЕТ: Число сочетаний — это количество способов, которыми можно выбрать неупорядоченную совокупность (то есть набор, где порядок не важен) из `k` различных элементов из некоторого множества, содержащего `n` различных элементов.
Ключевые характеристики:
> Порядок не имеет значения. Выбор элементов {A, B, C} считается идентичным выбору {C, B, A}.
> Элементы не повторяются. Каждый элемент в выбираемой совокупности уникален.
Формула для вычисления:
Число сочетаний из `n` по `k` (где 0 ≤ k ≤ n) вычисляется по формуле:
C_n^k = n! / (k! • (n ─ k)!)
где `n!` (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Пример:
Сколькими способами из 5 человек (Анна, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий) можно выбрать двоих для дежурства?
№ 2. Как обозначить число сочетаний из 6 по 5?
ОТВЕТ: Число сочетаний из 6 элементов по 5 можно обозначить тремя общепринятыми способами:
1. Символом сочетания: C_6^5
2. Биномиальным коэффициентом: (_6 ^5).
3. В виде дроби: C_6^5 = 6!/(5! • (6─5)!) = 6!/5! • 1! = 6 • 5!/5! • 1 = 6
Задачи (стр. 57–58)
Вы смотрели: Учебник вероятность и статистика 9 класс Базовый уровень, авторы: Высоцкий Ященко. Глава XIV. Элементы комбинаторики. Ознакомительный фрагмент и цитаты использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Вероятность и Статистика Глава 14.