Читать онлайн: Учебник вероятность и статистика 9 класс Базовый уровень, авторы: Высоцкий Ященко. Глава XV. Геометрическая вероятность: Выбор точки из фигуры на плоскости. Выбор точки из отрезка и дуги окружности. Ознакомительный фрагмент и цитаты использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Вероятность и Статистика Глава 15.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и Статистика 9 класс
Глава XV. Геометрическая вероятность
Иногда случайный опыт можно представить как выбор точки из некоторой фигуры на плоскости или из промежутка на прямой. В таком опыте каждое отдельное элементарное событие имеет нулевую вероятность, поэтому обычный способ подсчёта вероятностей не подходит. На помощь приходит геометрическая вероятность.
Интересно, что в геометрических случайных опытах удобно считать, что событие и фигура — это одно и то же. Вероятности на плоскости измеряются отношением площадей фигур, на прямой — отношением длин промежутков.
62. Выбор точки из фигуры на плоскости.
Вопросы (стр. 62)
№ 1. Какие события рассматриваются в опыте, состоящем в случайном выборе точки фигуры на плоскости?
ОТВЕТ: В таком опыте рассматриваются события, заключающиеся в том, что случайно выбранная точка попадает в некоторую подобласть (часть) исходной фигуры.
Примеры событий:
* «Выбранная точка лежит левее вертикальной линии, делящей фигуру пополам».
* «Выбранная точка попадает в круг, вписанный в исходный квадрат».
* «Расстояние от выбранной точки до центра фигуры меньше половины её радиуса».
№ 2. Точку выбирают из некоторой данной фигуры. От чего зависит и от чего не зависит вероятность попадания выбранной точки в фигуру, содержащуюся внутри данной фигуры?
ОТВЕТ: Вероятность ЗАВИСИТ от отношения мер этих фигур (площадей — на плоскости, длин — на прямой, объёмов — в пространстве). Вероятность не зависит от конкретной формы фигур, а только от этого отношения.
Вероятность НЕ ЗАВИСИТ от:
* Расположения внутренней фигуры внутри данной, при условии, что она целиком в ней содержится.
* Формы внутренней фигуры.
* Размеров исходной фигуры самих по себе (важны именно относительные, а не абсолютные размеры).
Главный принцип: Все точки исходной фигуры «равноправны», и шанс точки попасть в некоторую область определяется только тем, какую долю от всей исходной фигуры эта область составляет.
№ 3. Напишите формулу для вероятности попадания выбранной точки в фигуру G при выборе точки из фигуры F, содержащей в себе фигуру G.
ОТВЕТ: Формула геометрической вероятности на плоскости имеет вид: P(A) = S(G)/S(F)
где:
* P(A) — вероятность события A («точка попала в фигуру G»),
* S(G) — площадь фигуры G (целевой области),
* S(F) — площадь фигуры F (исходной области, откуда производится выбор).
№ 4. Точку наудачу выбирают из квадрата ABCD. Какова вероятность того, что выбранная точка принадлежит треугольнику АВС?
Решение: 1. Определим исходную и целевую фигуры.
* Исходная фигура F — это весь квадрат ABCD.
* Целевая фигура G — это треугольник ABC.
2. Найдём отношение их площадей.
* Площадь квадрата F : S(F) = S_{ABCD}. Если принять сторону квадрата за a , то S(F) = a^2.
* Площадь треугольника G : Треугольник ABC образован двумя сторонами квадрата (AB и BC) и его диагонали (AC). Его площадь равна половине площади квадрата: S(G) = S_{△ ABC} = 1/2 • AB • BC = 1/2 • a • a = (a^2)/2.
3. Применим формулу геометрической вероятности.
P = S(G)/S(F) = (\frac{a^2}2)/(a^2) = 1/2
Ответ: Вероятность того, что выбранная точка принадлежит треугольнику ABC, равна 1/2.
Задачи (стр. 62–63)
63. Выбор точки из отрезка и дуги окружности.
Вопросы (стр. 65)
№ 1. Сколько элементарных событий возникает при выборе случайной точки из фигуры на плоскости или из отрезка?
ОТВЕТ: При таком выборе возникает бесконечно много (континуум) элементарных событий.
Объяснение: Каждое возможное положение точки внутри фигуры считается отдельным элементарным исходом. Поскольку на отрезке, в площади фигуры или в объёме тела существует бесконечное (несчётное) множество точек, то и число элементарных событий является бесконечным.
№ 2. Как найти вероятность события «точка, случайно выбранная из отрезка МN, принадлежит отрезку CD, который содержится в отрезке MN»?
ОТВЕТ: Вероятность этого события находится по формуле геометрической вероятности на прямой:
P = l(CD) / l(MN)
где:
* l(CD) — длина отрезка CD (целевой области),
* l(MN) — длина отрезка MN (исходной области).
Объяснение: Вероятность равна отношению длины «благоприятного» отрезка CD к длине всего исходного отрезка MN , при условии, что выбор любой точки из MN равновозможен.
Задачи (стр. 65–66)
Вы смотрели: Учебник вероятность и статистика 9 класс Базовый уровень, авторы: Высоцкий Ященко. Глава XV. Геометрическая вероятность. Ознакомительный фрагмент и цитаты использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Вероятность и Статистика Глава 15.
