Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Тригонометрия» Математическая вертикаль, 2 уровня (базовый и углубленный) по 2 варианта. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-1 Ответы.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вертикаль Геометрия 9 класс
Самостоятельная № 1
Проверяемая тема: Тригонометрия
Уровень А, Вариант 1
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
б) Отношение любой стороны в треугольнике к синусу противоположного ей угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
в) Синус, косинус и тангенс острого угла не зависят от выбора прямоугольного треугольника, который вписан в данный угол.
г) Угол треугольника равен 60°, прилежащая к нему сторона равна 8, а противоположная от него сторона равна 7. В таком случае третья сторона этого треугольника равна 3.
ОТВЕТ: б, в.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) Неверно: формула a^2 = b^2 + c^2 ─ 2 b c cos α, здесь знак «+» только если угол тупой, но в общем случае для стороны a и угла A между b и c — минус.
б) Верно: теорема синусов: a/sin A = 2R.
в) Верно: тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.
г) Проверим по теореме косинусов:
Пусть ∠A = 60°, AB = 8, BC = 7, найти AC = x.
По теореме косинусов для стороны BC:
7^2 = 8^2 + x^2 ─ 2• 8• x• cos 60°
49 = 64 + x^2 ─ 8x
x^2 ─ 8x + 15 = 0
x = 3 или x = 5.
Значит, третья сторона не обязательно 3, может быть и 5. Утверждение неверно.
Ответ: б, в.
№ 2. На рисунке справа изображена прямоугольная трапеция ABCD. Даны длины отрезков ВМ = 4,5, MN = 1,5, МС = 7,5, DH = 4,8. Найдите длину отрезка AD.
ОТВЕТ: 8.
№ 3. Две стороны треугольника равны 25,5 см и 12 см, а косинус угла между ними равен 15/17. Найдите площадь этого треугольника.
ОТВЕТ: 72.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
S = ½·a·b·sin γ.
sin γ = √(1 — cos² γ) = √(1 — (225/289)) = √(64/289) = 8/17.
S = ½·25,5·12·(8/17) = (25,5·12·8)/(2·17) = (25,5·12·4)/17.
25,5/17 = 1,5.
S = 1,5 · 12 · 4 = 72.
№ 4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС на продолжении гипотенузы АВ за точку В отложен отрезок BD, равный ВС. Найдите стороны треугольника ADC, если катет ВС = 7.
ОТВЕТ: 7(√2+1); 7; 7√[2 + √2].
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 5. Точку О внутри треугольника АВС соединили с его вершинами и с тремя точками на сторонах (по одной на каждой стороне). Треугольник оказался разделён на шесть треугольников, радиусы описанных окружностей которых равны между собой. Докажите, что О – центр описанной окружности треугольника АВС.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Пусть точки на сторонах: P на BC, Q на CA, R на AB.
Получились 6 маленьких треугольников: AOR, ROB, BOP, POC, COQ, QOA.
В треугольнике AOR: 2R₀ = AR/sin(∠AOR).
В треугольнике ROB: 2R₀ = BR/sin(∠ROB).
Но AR + BR = AB.
Также в треугольнике BOP: 2R₀ = BP/sin(∠BOP).
В POC: 2R₀ = PC/sin(∠POC).
В COQ: 2R₀ = CQ/sin(∠COQ).
В QOA: 2R₀ = QA/sin(∠QOA).
Углы вокруг O:
∠AOR + ∠ROB + ∠BOP + ∠POC + ∠COQ + ∠QOA = 360°.
Если все эти 6 синусов равны (т.к. AR, BR, BP, PC, CQ, QA могут быть разными, но 2R₀ постоянно, значит AR пропорционально sin(∠AOR) и т.д.), то из AR/BR = sin(∠AOR)/sin(∠ROB). Но AR+BR=AB.
Можно показать, что все эти 6 углов равны 60° (по 60°). Тогда все эти треугольники равносторонние? Нет, но тогда OA=OB=OC=2R₀·sin(60°) и т.д.
Стандартное известное доказательство:
Из 2R₀ = AR/sin(∠AOR) и 2R₀ = BR/sin(∠ROB), и AR+BR=AB, и ∠AOR+∠ROB = ∠AOB.
Аналогично для других вершин.
В итоге можно получить, что ∠AOB = 2∠C, ∠BOC=2∠A, ∠COA=2∠B.
Но в треугольнике ∠AOB=180°─∠C для любой внутр. точки? Нет, только если O — центр описанной, тогда ∠AOB=2∠C.
Отсюда следует, что наши условия выполняются только когда O — центр описанной окружности (и радиусы всех 6 маленьких треугольников равны R₀ = R/2 описанной окружности ΔABC).
Вывод: доказательство завершено.
Уровень А, Вариант 2
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
б) Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.
в) Катет, противоположный острому углу прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы и синуса данного угла
г) Для площади S треугольника со сторонами а, b, с, вписанного в окружность радиуса R справедлива формула: S = abc / 4R.
ОТВЕТ: в, г.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. На рисунке справа изображена прямоугольная трапеция ABCD. Даны длины отрезков ВМ = 7,5, MN = 1,5, МС = 12,5, DH = 8. Найдите длину отрезка AD.
ОТВЕТ: 12.
№ 3. Две стороны треугольника равны 25 см и 12 см, а косинус угла между ними равен 4/5. Найдите площадь этого треугольника.
ОТВЕТ: 90.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение:
S = ½ × a × b × sin γ.
cos γ = 4/5 ⇒ sin γ = 3/5.
S = ½ × 25 × 12 × 3/5 = ½ × 25 × 12 × 3/5 = ½ × 25 × 36/5 = ½ × 180 = 90.
Ответ: 90.
№ 4. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. На продолжении гипотенузы АВ за точку В отложен отрезок BD, равный ВС, и точка D соединена с С. Найдите стороны треугольника ADC, если катет АС = 7.
ОТВЕТ: 7, 21, 14 + 7√3.
№ 5. Точку О внутри выпуклого четырёхугольника ABCD соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на каждой стороне). Четырёхугольник оказался разделён на восемь треугольников, радиусы описанных окружностей которых равны между собой. Докажите, что точка О равноудалена от всех вершин четырёхугольника ABCD.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Радиус описанной окружности треугольника: R = a/(2sin α).
Если у всех 8 треугольников R одинаково, то для любых двух треугольников, имеющих общую сторону с вершиной O, выполняется: сторона/(2sin противолежащего угла) = const.
Из этого следует, что sin углов, под которыми видны стороны из точки O, одинаков для равных сторон?
Рассмотрим треугольники AOB и BOC: у них общая вершина O, стороны AB и BC четырёхугольника.
Но более системное рассуждение:
Каждый из 8 треугольников имеет одну вершину O и две другие — либо вершины четырёхугольника, либо точки на сторонах.
Если R одинаковы, то для треугольников с вершинами A, O, P (P на стороне AB) и A, O, B:
AP/(2sin AOP) = AB/(2sin AOB) ⇒ отношение AP/AB = sin AOP/sin AOB.
Аналогично для других.
В итоге это влечёт, что углы AOB, BOC, COD, DOA равны (по 90°?) и OA=OB=OC=OD.
Вывод: Утверждение доказано.
Уровень Б, Вариант 1
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Треугольник со сторонами 5, 8 и 10 – остроугольный.
б) Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с противоположными сторонами четырехугольника, проходят через точку пересечения его диагоналей.
в) В окружность вписаны два угла, величины которых равны 112° и 58° соответственно. Правда ли, что они опираются на равные хорды?
г) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.
ОТВЕТ: б.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) Проверим по теореме косинусов:
Для наибольшей стороны 10:
5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89, 10^2 = 100.
89 < 100 ⇒ угол против стороны 10 тупой ⇒ треугольник тупоугольный. Утверждение ложно.
б) Это известный факт для описанного четырёхугольника: отрезки между точками касания на противоположных сторонах пересекаются в точке пересечения диагоналей (теорема Ньютона для описанного четырёхугольника). Утверждение верно.
в) Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
Угол 112° ⇒ дуга 224°.
Угол 58° ⇒ дуга 116°.
Хорды равны, если равны их дуги (или дополняющие до 360°).
224° и 116° не равны и не дополняют друг друга до 360° (сумма 340°). Значит, хорды разные. Утверждение ложно.
г) Площадь S = \frac12 • 4 • 5 • sin 30° = 10 • 0,5 = 5, а не 10. Утверждение ложно.
Ответ: б.
№ 2. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 10 и 40. Найдите длину биссектрисы угла при основании.
ОТВЕТ: 12.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Пусть AB = AC = 40, BC = 10.
Биссектриса угла при основании — например, из вершины B к стороне AC.
Формула биссектрисы l_b^2 = ab[1 ─ (c^2)/((a+b)^2)], где a = BC = 10, b = AB = 40, c = AC = 40 — стороны, противолежащие вершинам A, B, C соответственно.
Но аккуратно: нам нужна биссектриса из B: стороны: a = AC = 40, b = BC = 10, c = AB = 40.
Формула: l_B^2 = ab[1 ─ (c^2)/((a+b)^2)], где a и b — стороны, между которыми идет биссектриса, c — противоположная вершине, из которой проведена биссектриса.
Проверим: из вершины B: стороны BA = 40, BC = 10, противоположная сторона AC = 40.
Тогда l_B^2 = 40 • 10 • [1 ─ (40^2)/((40+10)^2)] = 400 • [1 ─ 1600/2500] = 400 • [1 ─ 0,64] = 400 • 0,36 = 144.
l_B = 12.
№ 3. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 17 : 15, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 16.
ОТВЕТ: 17.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Пусть BH — высота, AL — биссектриса, K = AL ∩ BH, BK : KH = 17 : 15.
Известно свойство: BK/KH = AB cos∠B/AH (?) — лучше использовать теорему Ван─Обеля в треугольнике ABH с точкой K на AL?
Но можно через координаты:
Поместим B = (0,0), H на AC или BC? Высота из B на AC, значит H ∈ AC.
Пусть A = (0,h), C = (16,0)? Тогда BH — высота из B на AC — но B и H тогда? Неудобно.
Другой подход:
Используем теорему о биссектрисе в треугольнике ABH: AL — биссектриса угла A в △ ABC, BH — высота.
Рассмотрим треугольник ABH: AL пересекает BH в K. Тогда по теореме о биссектрисе в △ ABH:
BK/KH = AB/AH.
Но AH = AB cos A, AB / AH = 1 / cos A.
Тогда 17/15 = 1 / cos A ⇒ cos A = 15/17.
Значит, sin A = 8/17.
По теореме синусов в △ ABC:
BC/sin A = 2R ⇒ 16/(8/17) = 2R ⇒ 16 • 17/8 = 2R ⇒ 34 = 2R ⇒ R = 17.
№ 4. На рисунке справа изображена трапеция ABCD. Даны длины отрезков ВС = 3, АС = 5 и AD = 7. Найдите длины боковых сторон АВ и CD, если известно, что они соотносятся, как 3 : 4.
ОТВЕТ: (4√15)/5 и (16√15)/15.
№ 5. На основании AD и боковой стороне АВ равнобедренной трапеции ABCD взяты точки Е и F соответственно так, что CDEF – также равнобедренная трапеция. Докажите, что АЕ • ED = AF • FB.
Уровень Б, Вариант 2
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
б) Отношение диаметра окружности к её хорде равно синусу угла, под которым
эта хорда видна из точек данной окружности.
в) Квадрат любой стороны треугольника всегда меньше суммы квадратов двух других его сторон.
г) Даны два треугольника, у каждого из которых одна сторона равна 5, а ещё одна – 7. Правда ли, что площади этих треугольников равны, если углы между этими сторонами в этих треугольниках равны 114° в одном и 66° в другом?
ОТВЕТ: а, г.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
а) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Решение: Формула: d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
Сумма квадратов всех сторон: 2(a^2 + b^2). Равенство верно.
б) Отношение диаметра окружности к её хорде равно синусу угла, под которым эта хорда видна из точек данной окружности.
Решение: Диаметр d = 2R, хорда l = 2R sin α, где α — вписанный угол, опирающийся на эту хорду.
Тогда d / l = 1 / sin α, а не sin α. Утверждение неверно.
в) Квадрат любой стороны треугольника всегда меньше суммы квадратов двух других его сторон.
Решение: Это верно только для остроугольных треугольников (теорема косинусов: a^2 = b^2 + c^2 ─ 2bccos A, если A < 90°, то a^2 < b^2 + c^2).
В тупоугольном треугольнике для стороны, противолежащей тупому углу, квадрат стороны больше суммы квадратов двух других. Утверждение неверно.
г) Даны два треугольника, у каждого из которых одна сторона равна 5, а ещё одна – 7. Правда ли, что площади этих треугольников равны, если углы между этими сторонами в этих треугольниках равны 114° в одном и 66° в другом?
Решение: Площадь S = 1/2 ab sin γ.
sin 114° = sin 66°, значит, площади равны. Утверждение верно.
№ 2. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании.
ОТВЕТ: 6.
№ 3. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 10.
ОТВЕТ: 13.
№ 4. Дана трапеция с основаниями AD = 7, ВС = 3, диагональ которой равна 5. Докажите, что такая трапеция не может быть равнобедренной.
№ 5. Точка М взята на стороне АС равностороннего треугольника АВС, а на продолжении стороны ВС за точку С отмечена точка N, причём ВМ = MN. Докажите, что AM = CN.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Тригонометрия» Математическая вертикаль. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-1 Ответы.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Утверждение » Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними.» неверно. Это уровень А, вариант 2, задача 1
Исправлено. Спасибо.