Частная школа. 9 класс

Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Подобие треугольников в окружности» Математическая вертикаль 2 уровня (базовый и углубленный) по 2 варианта. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-4 Ответы.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника

Математическая вертикаль Геометрия
Самостоятельная работа № 4

Проверяемая тема: Подобие треугольников в окружности

Уровень А, Вариант 1

№ 1. По данным чертежа найдите длину отрезка, обозначенного буквой х.

ОТВЕТ: а) х = 1; б) х = 9,5.

№ 2. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

ОТВЕТ: –

№ 3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки М на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная MX длины 2 ко второй. Найдите CD, если известно, что С — середина MD.
ОТВЕТ: CD = √2.

№ 4. В треугольнике ABC сторона AC в 2,5 раза длиннее стороны AB. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника ABC в точке A, пересекает продолжение луча CB в точке D. Найдите длину стороны BC, если известно, что AD = 10.
ОТВЕТ: BC = 21.

№ 5. Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами AB = 8, AC = 15 и BC = 17 касается стороны AC в точке D. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке X, а описанную около ABC окружность в точке Y. Найдите XY.
ОТВЕТ: XY = 35/√26.
Указание: найдите DX из теоремы о квадрате касательной, а DY из теоремы о произведении отрезков хорд.

---

Уровень А, Вариант 2

№ 1. По данным чертежа найдите длину отрезка, обозначенного буквой х.

ОТВЕТ: а) х = 1; б) х = 2,5.

№ 2. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

ОТВЕТ: –

№ 3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки М на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная MX ко второй. Найдите MX, если известно, что МС = CD = 1.
ОТВЕТ: MX = √2.

№ 4. В треугольнике ABC сторона AC в 1,5 раза длиннее стороны AB. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника ABC в точке A, пересекает продолжение луча CB в точке D. Найдите длину стороны BC, если известно, что AD = 18.
ОТВЕТ: BC = 15.

№ 5. Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами AB = 12, AC = 5 и BC = 13 касается стороны AC в точке D. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке X, а описанную около ABC окружность в точке Y. Найдите XY.
ОТВЕТ: XY = 27/√37.
Указание: найдите DX из теоремы о квадрате касательной, а DY из теоремы о произведении отрезков хорд.

---

Уровень Б, Вариант 1

№ 1. По данным чертежа найдите длину отрезка АВ, если сторона клетки равна 1.

ОТВЕТ: AB = 15/√10.

№ 2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки М на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная MX длины 2 ко второй. Найдите CD, если известно, что С — середина MD.
ОТВЕТ: CD = √2.

№ 3. Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами АВ = 12, АС = 5 и ВС= 13 касается стороны АС в точке В. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке Е. Найдите DE.
ОТВЕТ: DE = 24/√37.

№ 4. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр O большей окружности, пересекает её в точках A и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 3 : 7 : 2.

ОТВЕТ: 2 : 3.
Указание: проведите диаметр через точку касания и примените теорему о произведении отрезков хорд к малой окружности.

№ 5. Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину AC, через P — середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает BC во внутренней точке Q. Докажите, что ∠ABM = ∠MQP.
Указание: пусть S — середина отрезка CQ. Используйте параллельность прямых PS и MQ, а также подобие треугольников АВС и QPC.

---

Уровень Б, Вариант 2

№ 1. По данным чертежа найдите длину отрезка АВ, если сторона клетки равна 1.

ОТВЕТ: AB ≈ 5,66 (или = 4√2).

№ 2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки М на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная MX ко второй. Найдите MX, если известно, что МС = CD = 1.
ОТВЕТ: MX = √2.

№ 3. Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами АВ = 8, АС = 15 и ВС =17 касается стороны АС в точке D. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке Е. Найдите DE.
ОТВЕТ, указанный авторами задания: DE = 30/√26.
ОТВЕТ, найденный через решение (в спойлере): DE = 48/√73.
Если требуется избавиться от рациональности в знаменателе, то 48/√73 = (48√73)/73.

№ 4. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках A и D, а меньшую — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 4 : 5 : 3.
Указание: проведите диаметр через точку касания и примените теорему о произведении отрезков хорд к малой окружности.
ОТВЕТ, указанный авторами задания: 7 : 12. При этом авторами дан рисунок из варианта 1, где прямая проходит через центр большей окружности.
ОТВЕТ, найденный через решение (в спойлере): R / r = 84 / 25.

№ 5. Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину AC, через P — середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает BC во внутренней точке Q. Докажите, что ∠ABM = ∠MQP.
Указание: пусть S — середина отрезка CQ. Используйте параллельность прямых PS и MQ, а также подобие треугольников АВС и QPC.

Решение 1. Проведем через M прямую, параллельную PQ, до пересечения со стороной BC в точке D (см. рис.).

Отрезок PQ является средней линией треугольника MDC и делит сторону DC пополам. Следовательно, отрезок MQ – средняя линия треугольника ADC, а значит, параллелен AD. Поэтому  ∠ADM = ∠MQP  (как углы с параллельными сторонами). Осталось заметить, что  ∠BAM = 180° – ∠BQP = 180° – ∠BDM,  откуда получаем вписанность четырёхугольника ABDM и, как следствие, равенство углов ABM и ADM.

Решение 2. Так как четырёхугольник ABQP вписан, то  ∠MAB = ∠PQC  (см. рис.). Кроме того,  CQ • CB = CP • CA = 4CP² = CM²

Следовательно, CM является касательной к описанной окружности треугольника BMQ. Значит,  ∠BQM = ∠BMA,
и  ∠ABM = 180° – ∠BAM – ∠BMA = 180° – ∠MQB – ∠PQC = ∠MQP.

Источник решений для №5: Московская математическая олимпиада 2014 года для 10 класса.

 

---

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Подобие треугольников в окружности» Математическая вертикаль. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-4 Ответы.

Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника