Математическая вертикаль Алгебра п/р Ященко. Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами по модулю 6 «Степень с рациональным показателем» (2 уровня по 2 варианта). Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-8.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Алгебра 9 класс (Ященко)
Контрольная работа № 8
Проверяемая тема учебника:
Модуль 6. «Степень с рациональным показателем».
Базовый уровень. Вариант 1
Задача 1. Дана функция f(x) = x¹⁰. Сравните f(2) и f(–5).
Решение:
Функция f(x) = x^10 — чётная степень, поэтому f(─a) = f(a).
Вычислим: f(2) = 2^10 = 1024.
f(─5) = (─5)^10 = 5^10 = 9765625.
Сравниваем: 1024 < 9765625, значит f(2) < f(─5).
✅ Ответ: f(2) < f(–5).
Задача 2. Найдите значение выражения 6√{(–2)⁶}.
6√{(–2)⁶} = |─2| = 2.
✅ Ответ: 2.
Задача 3. Решите уравнение x⁷ = –128.
Решение: ─128 = ─2⁷.
Уравнение: x⁷ = (─2)⁷.
Так как степень нечётная, можно убрать степень: x = ─2.
✅ Ответ: –2.
Задача 4. Найдите значение выражения 3√{(3^-5 • 24 • 2^8 • 15) / (20 • 5^-3)}.
Решение: Сначала упростим подкоренное выражение.
24 = 2³ • 3, 15 = 3 • 5, 20 = 2² • 5.
Числитель:
3^{─5} • 24 • 2⁸ • 15 = 3^{─5} • (2³ • 3) • 2⁸ • (3 • 5)
= 3^{─5} • 3^1 • 3^1 • 2^{3 + 8} • 5^1
= 3^{─3} • 2^11 • 5^1.
Знаменатель:
20 • 5^{─3} = (2² • 5^1) • 5^{─3} = 2² • 5^{─2}.
Дробь:
(3^{─3} • 2^11 • 5^1)/(2² • 5^{─2}) = 3^{─3} • 2^{11 ─ 2} • 5^{1 ─ (─2)}
= 3^{─3} • 2⁹ • 5³.
Теперь 3√{3^{─3} • 2⁹ • 5³} = 3^{─1} • 2³ • 5^1 = 1/3 • 8 • 5 = 40/3 = 13 1/3.
✅ Ответ: 13 1/3.
Задача 5. При каких значениях переменной x определено выражение 4√{1/(x+7)} ?
Решение: Выражение 4√{1/(x + 7)} содержит корень 4-й степени и дробь.
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 1/(x + 7) ≥ 0.
Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, но числитель равен 1 > 0, значит знаменатель должен быть положительным: x + 7 > 0.
2. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль, иначе дробь не определена. Условие x + 7 > 0 уже исключает ноль в знаменателе.
3. Решаем неравенство: x > ─7.
Таким образом, область определения: (─7; + ∞).
✅ Ответ: (–7; +∞).
Задача 6. Найдите значение выражения 3√{9 — 3√3} • 3√{9 + 3√3}.
Решение:
Используем свойство корней: 3√a • 3√b = 3√{ab}.
3√{9 ─ 3√3} • 3√{9 + 3√3} = 3√{(9 ─ 3√3)(9 + 3√3)}.
Применим формулу разности квадратов:
(9 ─ 3√3)(9 + 3√3) = 81 ─ (3√3)² = 81 ─ 9 • 3 = 81 ─ 27 = 54.
Тогда:
3√54 = 3√{27 • 2} = 3√27 • 3√2 = 3 3√2.
✅ Ответ: 3 • 3√2.
Задача 7. Вычислите значение выражения 0,00164^{1/4}.
Решение:
Заметим, что 0,00164 = 164/100000 = 164/(10⁵).
Но удобнее представить как 0,0016 = 16 • 10^{─4}, однако здесь 0,00164, а не 0,0016.
Проверим точность: 0,00164 = 164 • 10^{─5} = 164/100000.
Можно заметить, что 164 = 4 • 41, но это не помогает для точного извлечения корня 4─й степени.
Возможно, в условии опечатка и имелось в виду 0,0016, потому что 0,0016 = 16 • 10^{─4}, тогда
(16 • 10^{─4})^{1/4} = 16^{1/4} • 10^{─1} = 2 • 0,1 = 0,2.
В ответе дано 0,2, значит, скорее всего, подразумевалось 0,0016.
Проверим 0,0016^{1/4} :
0,0016 = 16 × 10^{─4} = 2⁴ × 10^{─4},
(2⁴ × 10^{─4})^{1/4} = 2 × 10^{─1} = 0,2.
✅ Ответ: 0,2.
Задача 8. Вычислите (0,0256 • 81/16)^{-1/4}.
Решение:
1. Преобразуем 0,0256 :
0,0256 = 256/10000 = (2⁸)/(10⁴).
Но 256 = 2⁸, 10000 = 10⁴, значит 0,0256 = (2⁸)/(10⁴).
2. Умножим на 81/16 :
0,0256 • 81/16 = (2⁸)/(10⁴) • (3⁴)/(2⁴) = (2^{8 ─ 4} • 3⁴)/(10⁴) = (2⁴ • 3⁴)/(10⁴) = ((2 • 3)⁴)/(10⁴) = (6⁴)/(10⁴) = (6/10)⁴ = (3/5)⁴.
3. Теперь возведём в степень ─(1/4) :
[(3/5)⁴]^{─1/4} = (3/5)^{─1} = 5/3.
4. 5/3 = 1 2/3.
✅ Ответ: 1 2/3.
Базовый уровень. Вариант 2
Задача 1. Дана функция f(x) = x²⁵. Сравните f(–3) и f(2).
✅ Ответ: f(–3) < f(2).
Задача 2. Найдите значение выражения 10√{(–7)¹⁰}.
✅ Ответ: 7.
Задача 3. Решите уравнение x⁵ = –243.
✅ Ответ: –3.
Задача 4. Найдите значение выражения 4√{(7^-4 • 27 • 28 • 4) / (21 • 3^-6)}.
✅ Ответ: 2 4/7.
Задача 5. При каких значениях переменной х определено выражение 5√{1/(x – 6)}?
✅ Ответ: (–∞; 6) U (6; +∞).
Задача 6. Найдите значение выражения 4√{12 – 3√7} • 4√{12 + 3√7}.
✅ Ответ: 3.
Задача 7. Вычислите значение выражения 0,001^{1/3}.
✅ Ответ: 0,1.
Задача 8. Вычислите (0,000125 • 64/27)^{-1/3}.
✅ Ответ: 15.
Углубленный уровень. Вариант 1
Задача 1. Дана функция f(x) = x⁹. Сравните f(5) и f(–7).
Решение:
Функция f(x) = x⁹ — нечётная, так как степень нечётная.
f(5) = 5⁹ > 0,
f(─7) = (─7)⁹ = ─7⁹ < 0.
Положительное число больше отрицательного, поэтому f(5) > f(─7).
✅ Ответ: f(5) > f(–7).
Задача 2. Найдите значение выражения 6√{(-2)⁶}.
✅ Ответ: 2.
Задача 3. Решите уравнение x⁴ = 81.
Решение: x⁴ = 81
x⁴ ─ 81 = 0
(x² ─ 9)(x² + 9) = 0
x² ─ 9 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ± 3
x² + 9 = 0 ⇒ нет действительных корней.
✅ Ответ: –3, 3.
Задача 4. Найдите значение выражения 3√{(3^-5 • 24 • 2^8 • 15) / (20 • 5^-3)}.
✅ Ответ: 13 1/3.
Задача 5. При каких значениях переменной ж определено выражение 4√{1/[(x+7)(x-3)]} ?
Решение: Корень чётной степени 4 определён, когда подкоренное выражение неотрицательно. Кроме того, знаменатель не должен быть нулём.
1/(x + 7)(x─3) ≥ 0
Дробь положительна, когда знаменатель положителен:
(x + 7)(x─3) > 0.
Решаем неравенство:
Корни x = ─7 и x = 3.
Метод интервалов:
(─∞, ─7) — знак » + » (произведение положительно),
(─7, 3) — знак «─»,
(3, + ∞) — знак » + «.
Неравенство строгое, так как при нуле знаменателя дробь не определена.
✅ Ответ: (–∞; –7) U (3; +∞).
Задача 6. Найдите значение выражения √{7 + 4√3} + √{7 — 4√3}.
Решение:
Заметим, что 7 ± 4√3 можно представить как полные квадраты вида (a ± b√3)²:
(a ± b√3)² = a² + 3b² ± 2ab√3.
Сравниваем с 7 ± 4√3:
a² + 3b² = 7, 2ab = 4 ⇒ ab = 2.
Подбираем целые a, b > 0: a = 2, b = 1:
a² + 3b² = 4 + 3 = 7, ab = 2.
Подходит. Тогда
7 + 4√3 = (2 + √3)², 7 ─ 4√3 = (2 ─ √3)².
Корни:
√{7 + 4√3} = 2 + √3, √{7 ─ 4√3} = |2 ─ √3| = 2 ─ √3 (т.к. 2 > √3).
Сумма: (2 + √3) + (2 ─ √3) = 4.
✅ Ответ: 4.
Задача 7. Вычислите значение выражения 0,000064^{1/3}.
Решение: 0,000064 = 64 × 10^{─6} = 64 × 10^{─6}.
Кубический корень:
(64 × 10^{─6})^{1/3} = 64^{1/3} × (10^{─6})^{1/3} = 4 × 10^{─2} = 0,04.
✅ Ответ: 0,04.
Задача 8. Вычислите (0,0256 • 81/16)^{-1/4}.
Решение. Сначала упростим выражение в скобках:
0,0256 = 256/10000 = 64/2500 = 16/625.
Но удобнее представить в виде степени:
0,0256 = 256 × 10^{─4} = 2⁸ × 10^{─4}.
81/16 = (3⁴)/(2⁴).
Произведение:
0,0256 • 81/16 = 2⁸ × 10^{─4} × (3⁴)/(2⁴) = 2⁴ × 3⁴ × 10^{─4}.
10^{─4} = (2 • 5)^{─4} = 2^{─4} • 5^{─4}.
Тогда:
2⁴ × 3⁴ × 2^{─4} × 5^{─4} = 3⁴ × 5^{─4} = (3/5)⁴.
Теперь возводим в степень ─1/4:
[(3/5)⁴]^{─1/4} = (3/5)^{─1} = 5/3.
5/3 = 1 2/3.
✅ Ответ: 1 2/3.
Задача 9. Найдите значение выражения (x^{2/5} – 1,69) / (x^{1/5} – 1,3) при x = 243.
Решение:
x = 243 = 3⁵ ⇒ x^{1/5} = 3.
Подставляем:
x^{2/5} = (x^{1/5})² = 3² = 9.
Числитель: 9 ─ 1,69 = 7,31.
Знаменатель: 3 ─ 1,3 = 1,7.
Дробь: 7,31/1,7 = 731/170 = 4,3.
Можно было разложить числитель как разность квадратов:
x^{2/5} ─ 1,69 = (x^{1/5})² ─ (1,3)² = (x^{1/5} ─ 1,3)(x^{1/5} + 1,3).
Тогда дробь равна x^{1/5} + 1,3 = 3 + 1,3 = 4,3.
✅ Ответ: 4,3.
Углубленный уровень. Вариант 2
Задача 1. Дана функция f(x) = x¹⁴. Сравните f(–6) и f(5).
✅ Ответ: f(–6) > f(5).
Задача 2. Найдите значение выражения 10√{(–7)¹⁰}.
✅ Ответ: 7.
Задача 3. Решите уравнение x⁴ = 256.
✅ Ответ: –4, 4.
Задача 4. Найдите значение выражения 4√{(7^-4 • 27 • 28 • 4) / (21 • 3^-6)}.
✅ Ответ: 2 4/7.
Задача 5. При каких значениях переменной х определено выражение 11√{1/[(x+4)(x-1)]} ?
✅ Ответ: (–∞; –4) U (–4; 1) U (1; +∞).
Задача 6. Найдите значение выражения √{14√2 + 51} + √{51 — 14√2}.
✅ Ответ: 14.
Задача 7. Вычислите значение выражения 0,01024^{1/5}.
✅ Ответ: 0,4.
Задача 8. Вычислите (0,000125 • 64/27)^{-1/3}.
✅ Ответ: 15.
Задача 9. Найдите значение выражения (1,1 – x^{1/7}) / (x^{2/7} – 1,21) при х = 128.
✅ Ответ: –10/31.
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 8 классе с ответами по модулю 6 (2 уровня по 2 варианта) Математическая вертикаль под редакцией Ященко И.В. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материала: Вертикаль Алгебра Ященко КР-8.