Учебник по геометрии для 9 класса Математическая вертикаль § 4 Подобие треугольников — II ЗАДАЧИ. Волчкевич М.А. под редакцией Ященко И.В. Цитаты из пособия использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета). Код материалов: Вертикаль Геометрия §4 Задачи.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вертикаль Геометрия 9 класс
§ 4. Подобие треугольников — II ЗАДАЧИ
№ 1. Угол A треугольника ABC равен 45°, а на стороне BC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках K и L. Найдите отношение площадей треугольников АВС и AKL.
№ 2. Параллельно основаниям трапеции провели прямую, которая пересекает её диагонали. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между боковыми сторонами трапеции и её диагоналями, равны. (см. рис.)
№ 3. Длины двух сторон треугольника равны a и b. Прямая, параллельная его третьей стороне, отсекает на них равные отрезки так, как показано на рисунке. Найдите длину этих отрезков. (см. рис.)
№ 4. В четырёхугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника. Найдите сторону ромба, если длины его диагоналей равны 6 и 12.
№ 5. Две окружности с радиусами 2 и 5 вписаны в угол и касаются друг друга. Найдите радиус третьей окружности, вписанной в тот же угол и проходящей через центр большей из них. (см. рис.)
№ 6. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD из тупого угла А опустили перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.
№ 7. В треугольник вписан полукруг так, что полуокружность касается основания, а его диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Найдите радиус этого полукруга, если основание треугольника равно a, а высота, проведённая к нему, равна h. (см. рис.)
№ 8. Окружность касается боковых сторон треугольника, а её центр лежит на его основании. Найдите радиус окружности, если высоты треугольника, опущенные на боковые стороны, равны 2 и 3. (см. рис.)
ОТВЕТ: 1,2.
№ 9. На основаниях трапеции вне её построили правильные треугольники. Докажите, что отрезок, соединяющий две их вершины, не принадлежащие трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. (см. рис.)
№ 10. Два квадрата, изображённые на рисунке, имеют общую вершину. Найдите отношение отрезков АВ и СD. (см. рис.)
№ 11. В прямоугольник со сторонами 10 и 11 вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 1. Найдите периметр этого прямоугольника. (см. рис.)
№ 12. Стороны египетского треугольника равны 3, 4 и 5. Через центр вписанной в него окружности перпендикулярно гипотенузе провели прямую. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.
№ 13. Окружности с радиусами 1 и 4 вписаны в один угол и касаются друг друга. Найдите расстояние между точками касания большей из этих окружностей со сторонами угла. (см. рис.)
№ 14. Две прямые, проходящие через концы меньшего основания трапеции параллельно её боковым сторонам, пересекают диагонали трапеции в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если меньшее основание трапеции равно a, а большее — b. (см. рис.)
№ 15. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке O. Через эту точку проводят прямую, параллельную её основаниям. Эта прямая пересекает продолжения диагоналей трапеции в точках M и K. Найдите длину отрезка MK, если основания трапеции равны a и b. (см. рис.)
№ 16. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбрали произвольные точки M и K. Через них параллельно прямым CK и AM провели прямые, которые пересекли стороны AB и BC в точках P и Q. Докажите, что прямые PQ и AC параллельны. (см. рис.)
№ 17. В треугольнике ABC провели высоты AM и CK. Отрезок MK делит биссектрису BE треугольника в отношении 2 : 3, считая от вершины. В каком отношении данный отрезок делит площадь треугольника?
№ 18. Через центр окружности, вписанной в треугольник, параллельно его стороне провели прямую. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, если параллельная ему сторона равна c, а две другие стороны равны a и b. (см. рис.)
№ 19. К двум окружностям с радиусами 3 и 7 проведены одна внешняя и две внутренние общие касательные. Найдите расстояние от точки пересечения внутренних касательных до внешней касательной. (см. рис.)
№ 20. Сторона правильного шестиугольника равна 1. Найдите сторону квадрата, вершины которого лежат на четырёх сторонах шестиугольника, а стороны параллельны диагоналям шестиугольника. (см. рис.)
№ 21. Стороны треугольника равны a, b и c. Три параллельные им прямые отрезают от него равносторонний шестиугольник так, как показано на рисунке. Найдите сторону шестиугольника. (см. рис.)
№ 22. Прямая, параллельная гипотенузе египетского треугольника, касается вписанной в него окружности. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника.
№ 23. В сектор круга радиуса R вписана окружность. Найдите её радиус, если стягивающая сектор хорда равна m. (см. рис.)
№ 24. В ромб вписали окружность. Найдите площадь четырёхугольника, образованного точками её касания со сторонами ромба, если диагонали ромба равны а и b.
№ 25. Боковые стороны трапеции равны с. В неё вписана окружность радиуса r. Найдите отрезок, соединяющий точки её касания с боковыми сторонами трапеции.
№ 26. В прямоугольном треугольнике ABC провели высоту BH к его гипотенузе. В треугольники ABH и CBH вписали квадраты так, что сторона каждого квадрата лежит на гипотенузе своего треугольника, а две оставшиеся вершины на его катетах. Докажите, что эти квадраты имеют общую точку. (см. рис.)
№ 27. Стороны треугольника равны 5, 5 и 6. В него вписали второй треугольник так, что все его стороны соответственно перпендикулярны сторонам исходного. Докажите, что эти треугольники подобны, и найдите коэффициент их подобия. (см. рис.)
№ 28. В прямоугольной трапеции ABCD с прямыми углами A и B E — точка пересечения диагоналей, а F — основание перпендикуляра, опущенного из точки E на боковую сторону AB. Докажите, что угол CFE равен углу DFE.
№ 29. Периметр треугольника ABC равен 9. В треугольник вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB. (см. рис.)
№ 30. Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе угла A. Эта прямая пересекает стороны AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что 4 • BX • CY = XY2.
№ 31. На основании трапеции взяли произвольную точку T. Через неё провели две прямые параллельно диагоналям трапеции. Они пересекли боковые стороны трапеции в точках M и K. Отрезок MK пересекает диагонали трапеции в точках P и E. Докажите, что MP = EK. (см. рис.)
№ 32. Параллельно двум сторонам треугольника ABC провели две прямые. Они разбили треугольник на две трапеции, треугольник и параллелограмм. Цифрами обозначены площади трапеций и треугольника. Найдите площадь параллелограмма. (см. рис.)
№ 33. Через точку внутри треугольника проведены три прямые параллельно всем его сторонам. Найдите площадь исходного треугольника, если площади отмеченных треугольников на рисунке равны S1, S2 и S3. (см. рис.)
№ 34. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проведён так, что закрашенные на рисунке треугольники равновелики. Найдите длину проведённого отрезка, если основания трапеции равны a и b. (см. рис.)
№ 35. Вершины правильного шестиугольника соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Какую часть площади всего шестиугольника составляет незакрашенная фигура в центре? (см. рис.)
№ 36. Четыре равные окружности расположены так, что три из них вписаны в углы треугольника, а четвёртая касается остальных. Найдите их радиус, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R. (см. рис.)
№ 37. Продолжения сторон BC и AD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Некоторую точку M на его стороне AD соединили отрезками с вершинами B и С. Проведённые отрезки пересекают диагонали четырёхугольника в точках P и Q. Оказалось, что прямая PQ параллельна AD. Найдите AK, если AM = a, MD = b. (см. рис.)
№ 38. На каждой стороне четырёхугольника взяли по точке так, что эти четыре точки образовали параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Докажите, что центр параллелограмма лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника. (см. рис.)
№ 39. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K. Пусть точки O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников ABC и ACD. Докажите, что ∠AKO1 = ∠DKO2. (см. рис.)
Вы смотрели: Учебник по геометрии для 9 класса Математическая вертикаль § 4 Подобие треугольников — II ЗАДАЧИ. Волчкевич М.А. под редакцией Ященко И.В. Код материалов: Вертикаль Геометрия §4 Задачи.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
