Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Повторение подобия» Математическая вертикаль, 2 уровня (базовый и углубленный) по 2 варианта. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-2.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вертикаль Геометрия 9 класс
Самостоятельная № 2
Проверяемая тема: Повторение подобия
Уровень А, Вариант 1
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) В треугольниках АВС и А1В1С1 провели биссектрисы BL и B1L1 соответственно. Тогда если △ABL ~ △A1B1L1, то △АВС ~ △А1В1С1.
б) Точки М и N – середины сторон АВ и PQ подобных треугольников АВС и PQR соответственно, причём AM = 5, a PN = 10. Тогда если ∠СМВ = 33°, то ∠RNQ = 66°.
в) Если у двух трапеций равны соответственные углы, то они подобны.
г) В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Тогда треугольники АНВ и ВНС подобны с коэффициентом подобия равным cos ∠А.
ОТВЕТ: а) — верно.
б) Неверно. Углы при серединах сторон в подобных треугольниках равны (не удваиваются).
в) Неверно. Равенство углов не гарантирует пропорциональности сторон (нужны дополнительные условия).
г) Неверно. Треугольники и подобны, но коэффициент подобия — или , а не .
№ 2. В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Найдите ВН, если АС = 35, а СН = 28.
ОТВЕТ: 14.
№ 3. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка Е, а на продолжении этой же стороны за точку D выбрана точка F, причём ВА = 6, АЕ = 3, ED = 4, a DF = 5. Прямые BE и CD пересекаются в точке X, а прямые BF и CD – в точке Y. Найдите отрезок XY.
ОТВЕТ: 10,5.
№ 4. В треугольник вписан полукруг так, что полуокружность касается основания, а диаметр, концы которого лежат на боковых сторонах, параллелен основанию. Докажите, что длина основания равна длине высоты, проведённой к этому основанию, если известно, что эта высота втрое больше радиуса полуокружности.
ОТВЕТ: см. в спойлере.
№ 5. Вписанная окружность треугольника АВС радиуса 4 касается его стороны АС в точке Т. Вписанная окружность треугольника KLM с центром в точке I радиуса 8 касается стороны LM в точке Q. Найдите отрезок KI, если известно, что АТ = 3, ТС = 6, MQ = 12, а ∠АВС = ∠KLM.
ОТВЕТ: 10.
Решения нет.
Уровень А, Вариант 2
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) В треугольниках АВС и А1В1С1 проведены высоты ВН и В1Н1 соответственно. Тогда если △АВН ~ △А1В1Н1, то △АВС ~ △А1В1Н1.
б) Точки М и N – середины сторон АВ и PQ подобных треугольников АВС и PQR соответственно, причём AM = 5, a PN = 10. Тогда если ∠АМС = 22°, то ∠PNR = 44°.
в) Если у двух ромбов равны соответственные углы, то они подобны.
г) В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Тогда треугольники АНВ и ВНС подобны с коэффициентом подобия равным sin ∠A.
ОТВЕТ: а), в).
№ 2. В прямоугольном треугольнике АВС на его гипотенузу АС опустили высоту ВН. Найдите ВН, если АС = 30, а СН = 6.
ОТВЕТ: 12.
№ 3. На стороне CD параллелограмма ABCD выбрана точка Е, а на продолжении этой же стороны за точку D выбрана точка F, причём ВС = 6, СЕ = 9, ED = 3, a DF = 4. Прямые BE и AD пересекаются в точке X, а прямые BF и AD – в точке Y. Найдите отрезок XY.
ОТВЕТ: 19,5.
№ 4. В треугольник вписан полукруг так, что полуокружность касается основания, а диаметр, концы которого лежат на боковых сторонах, параллелен основанию. Докажите, что длина основания равна длине высоты, проведённой к этому основанию, если известно, что это основание втрое больше радиуса полуокружности.
ОТВЕТ: –
№ 5. Вписанная окружность треугольника АВС радиуса 3 касается его стороны АС в точке Т. Вписанная окружность треугольника KLM с центром в точке I и радиуса 9 касается его стороны LM в точке Q. Найдите отрезок KI, если известно, что АТ = 4, ТС = 5, MQ = 15, а ∠АВС = ∠KLM.
ОТВЕТ: 15.
Уровень Б, Вариант 1
№ 1. Укажите верные утверждения:
а) В треугольнике АВС провели высоты AD и СЕ. Оказалось, что АС = 2DE. Верно ли, что ∠АВС = 60°?
б) В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке У, а в остроугольном треугольнике PQR биссектриса РТ и высота QS пересекаются в точке Y. Известно, что ∠НАХ = ∠SPY и ∠XBL = ∠YQT. Тогда если АВ = 4, PQ = 8, то ∠CXA = ∠RYP.
в) Если у двух четырёхугольников равны отношения соответственных сторон, то они подобны между собой.
г) Если у двух ромбов равны отношения их соответственных диагоналей, то они подобны между собой.
ОТВЕТ: б), г).
№ 2. Диагональ АС четырёхугольника ABCD является биссектрисой угла BAD. На стороне ВС выбрана точка К таким образом, что ∠ADK = ∠АВС, а ВК = 3КС. Найдите отношение АВ : AD, если известно, что KD делится диагональю АС в отношении 2 : 3, считая от вершины К.
ОТВЕТ: 8:3.
№ 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке М. В треугольник AMD вписана окружность с центром в точке О. Пусть биссектрисы углов ВСМ и СВМ пересекаются в точке I. Найдите длину основания ВС, если известно, что AD = 6, МО = 3, а МI = 2.
ОТВЕТ: 4.
№ 4. Из точки Е пересечения диагоналей прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А на боковую сторону АВ опустили перпендикуляр EF. Докажите, что углы DFE и CFE равны.
ОТВЕТ: –
№ 5. В треугольнике АВС проведены высоты АР и BQ. Пусть М – середина АВ, а N – середина PQ. Прямая CN пересекает АВ в точке К, а прямая СМ пересекает PQ в точке L. Докажите, что точки К, L, N и М лежат на одной окружности.
ОТВЕТ: –
Уровень Б, Вариант 2
№ 1. Укажите верные утверждения
а) В треугольнике АВС проведены высоты AD и BE. Тогда DE < АВ.
б) Треугольники АВС и PQR подобны с коэффициентом k = PQ : АВ = 1,5. В треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана СЕ, а. в треугольнике PQR проведены биссектриса PL и медиана RM. Тогда если ∠BDE = 32°, то ∠QLM = 48°.
в) Если у двух трапеций равны отношения их оснований, то они подобны.
г) Если у двух параллелограммов их соответственные диагонали относятся одинаково, а углы между ними равны, то такие параллелограммы подобны.
ОТВЕТ: а), г).
№ 2. Диагональ АС четырёхугольника ABCD является биссектрисой угла BAD. На стороне CD выбрана точка К таким образом, что ∠АВК = ∠ADC, a DK = 2КС. Найдите отношение АВ : AD, если известно, что КВ делится диагональю АС в отношении 2 : 3, считая от вершины К.
ОТВЕТ: 1:2.
№ 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точки D и Е соответственно так, что DE || АС. В треугольник DBE вписана окружность с центром в точке О. Пусть биссектрисы углов ВАС и ВСА пересекаются в точке I. Найдите длину стороны АС, если известно, что DE = 4, ВО = 2, а OI = 3.
ОТВЕТ: 10.
№ 4. Из точки Е пересечения диагоналей прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А на боковую сторону АВ опустили перпендикуляр EF. Докажите, что углы DFE и CFE равны.
ОТВЕТ: –
№ 5. На катетах АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты ABDE и BCFG. Пусть ВН – высота треугольника АВС. Отрезки HD и HF пересекают катеты АВ и ВС в точках L и К соответственно. Докажите, что точки К, В, L и Н лежат на одной окружности.
ОТВЕТ: –
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Тригонометрия» Математическая вертикаль. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-1 Ответы.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
