Контрольная по Волчкевич: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Теоремы Чевы и Менелая» Математическая вертикаль, 2 уровня (базовый и углубленный) по 2 варианта. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-3.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вертикаль Геометрия 9 класс
Самостоятельная № 3
Проверяемая тема: Теоремы Чевы и Менелая
Уровень А, Вариант 1
№ 1. Найдите отношение АХ : ХС.
ОТВЕТ: а) 1:21, б) 2:5.
№ 2. Докажите, что на рисунке точки B, P и N лежат на одной прямой.
ОТВЕТ: –
№ 3. В треугольнике АВС сторона АВ втрое длиннее стороны ВС. Найдите, в каком отношении медианы, проведённые из вершин А и С, делят биссектрису угла В.
ОТВЕТ: Медиана делит биссектрису в отношении 4 : 3 (от вершины ); Медиана делит биссектрису в отношении 4 : 1 (от вершины ).
№ 4. Основания трапеции равны 4 и 9. Через середину её боковой стороны и точку пересечения диагоналей проведена прямая. В каком отношении она делит другую сторону трапеции?
ОТВЕТ: 16:81.
№ 5. В прямоугольный треугольник ABC c катетами АС = 12 и ВС = 5 вписана окружность, которая касается этих катетов в точках Р и Q соответственно, а гипотенузы в точке R. Прямая PR пересекает продолжение катета ВС в точке D, а прямая QR пересекает продолжение катета АС в точке Е. Найдите площадь треугольника DCE.
ОТВЕТ: 15.
Уровень А, Вариант 2
№ 1. Найдите отношение АХ : ХС.
ОТВЕТ: а) 16:1, б) 1:4.
№ 2. Докажите, что на рисунке точки B, P и N лежат на одной прямой.
ОТВЕТ: –
№ 3. В треугольнике АВС сторона АВ вдвое длиннее стороны ВС. Найдите, в каком отношении медианы, проведённые из вершин А и С, делят биссектрису угла В.
ОТВЕТ: 1) 3:2, считая от вершины, 2) 3:1, считая от вершины.
№ 4. Основания трапеции равны 4 и 9. Через середину её боковой стороны и точку пересечения диагоналей проведена прямая. В каком отношении она делит другую сторону трапеции?
ОТВЕТ: 16:81.
№ 5. В прямоугольный треугольник ABC c катетами АС = 15 и ВС = 8 вписана окружность, которая касается этих катетов в точках Р и Q соответственно, а гипотенузы в точке R. Прямая PR пересекает продолжение катета ВС в точке D, а прямая QR пересекает продолжение катета АС в точке Е. Найдите площадь треугольника DCE.
ОТВЕТ: 30.
Уровень Б, Вариант 1
№ 1. На рисунках снизу найдите отношение АХ : ХС.
ОТВЕТ: а) 2:15, б) 2:3.
№ 2. В треугольнике АВС биссектриса BL и медиана AM перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите АВ.
ОТВЕТ: 3√13.
№ 3. В треугольнике АВС чевианы АР, BQ и CR пересекаются в одной точке. Прямые PR и АС пересекаются в точке S. Найдите SA, если известно, что AQ = 2, a QC = 3.
ОТВЕТ: 10.
№ 4. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите, что точки касания вписанной окружности треугольника ABD со сторонами AD и BD лежат на одной прямой с серединой М стороны АС.
Указание: используйте обратную теорему Менелая для треугольника ADC и прямой, указанной в условии.
№ 5. Внутри треугольника АВС выбраны точки Р, Q и R. Из точки Р на стороны АВ и АС опущены перпендикуляры РК и PL соответственно; из точки Q на стороны АВ и ВС опущены перпендикуляры QM и QN соответственно; из точки R на стороны ВС и СА опущены перпендикуляры RS и RT соответственно. Оказалось, что РК = RS, QM = RT, а QN = PL. Докажите, что прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке.
Указание: используйте тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Уровень Б, Вариант 2
№ 1. На рисунках снизу найдите отношение АХ : ХС.
ОТВЕТ: а) 2:15, б) 1:2.
№ 2. В треугольнике АВС биссектриса BL и медиана AM перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите АВ.
ОТВЕТ: 2√13.
№ 3. В треугольнике АВС чевианы АР, BQ и CR пересекаются в одной точке. Прямые PR и АС пересекаются в точке S. Найдите SA, если известно, что AQ = 5, a QC = 3.
ОТВЕТ: 20.
№ 4. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС выбрана произвольная точка D. Докажите, что точки касания вписанной окружности треугольника ABD со сторонами AD и BD лежат на одной прямой с серединой М стороны АС.
Указание: используйте обратную теорему Менелая для треугольника ADC и прямой, указанной в условии.
№ 5. На стороне АВ треугольника АВС отмечены точки D и Е, причём AD = BE; на стороне ВС – точки К и L, причём ВК = CL; наконец, на стороне АС отмечены точки М и N, причём СМ = AN. Докажите, что прямые, содержащие диагонали АХ, BY и CZ параллелограммов ADXN, BKYE и CLZM пересекаются в одной точке.
Указание: используйте тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами «Теоремы Чевы и Менелая» Математическая вертикаль. Код материалов: Вертикаль Геометрия СР-3 Ответы.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
